Подмодели сжимаемой жидкости и инвариантно-групповые решения

• Автор: Гарифуллин, Артур Рафаилевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. УРАВНЕНИЯ ПОДМОДЕЛЕЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ДВУМЕРНЫХ ПОДАЛГЕБРАХ
1.1. Уравнения движения сжимаемой жидкости и допускаемая ими алгебра
1.2. Инвариантные и частично инвариантные подмодели уравнений движения сжимаемой жидкости (общая теория)
1.3. Инвариантные подмодели на двумерных подалгебрах
1.4. Редукция регулярных частично инвариантных подмоделей к инвариантным
Глава 2. РЕШЕНИЕ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ПОДМОДЕЛИ РАНГА 2 ДЕФЕКТА 2 СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ДЛЯ ОДНОЙ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ПОДАЛГЕБРЫ
2.1. Определенные и переопределенные подмодели ранга 2 дефекта 2 сжимаемой жидкости для одной четырехмерной подалгебры и
их редукция
2.2. Решения переопределенной подмодели ранга 2 дефекта 2 в случае линейного поля скоростей
2.3. Решения переопределенной подмодели ранга 2 дефекта 2 в ортогональной системе координат
2.4. Общее решение переопределенной подмодели ранга 2 дефекта
Глава 3. ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РАНГА 2 СТАЦИОНАРНОГО ТИПА
3.1. Система определяющих уравнений допускаемой алгебры
3.2. Интегрирование 2-уравнений системы определяющих уравнений
3.3. Интегрирование 1- и 0-уравнений системы определяющих уравнений
3.4. Групповая классификация по уравнению состояния
3.5. Пример вычисления допускаемой алгебры для регулярной частично инвариантной подмодели и ивариантной подмодели

Глава 4. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ПОДМОДЕЛИ РАГА 2 ДЕФЕКТА 2 СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
4Л. Непрерывное сопряжение инвариантного схождения и расширения через характеристики одномерной нестационарной подмодели сжимаемой жидкости (7 = 2)
4.1.1. Постановка задачи о сопряжении сходящегося и расходящегося движений сжимаемой жидкости
4.1.2. Построение решения задачи Гурса
4.1.3. Доказательство сходимости
4.1.4. Сопряжение расходящегося и сходящегося движений сжимаемой жидкости
4.2. Расслоенное по параллельным плоскостям трансзвуковое движение сжимаемой жидкости в канале из мгновенного дозвукового источника (7 = 3/2)
4.3. Задача о трансзвуковом движении сжимаемой жидкости под действием сферического поршня с границей перехода в другую фазу (7 = 2/3)
4.3.1. Точное решение и характеристики
4.3.2. Физическая интерпретация решения, распространение сферического возмущения при £ <
4.3.3. Физическая интерпретация решения, распространение сферического возмущения при £>0
4.4. Задача о движении сжимаемой жидкости из мгновенного дозвукового источника через звуковую поверхность к фазовой границе (7 = 4/3)
Заключение
Литература

Введение
Математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одним из эффективных инструментов исследования дифференциальных уравнений является групповой анализ — математическое направление, предметом которого является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений.
В современной теоретической физике при исследовании строения материи (микромир) или Вселенной (макрокосмос) теоретико-групповые методы играют основополагающую роль. В механике сплошных сред в этом вопросе наблюдался пробел. Систематические исследования по применению методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начаты J1.B. Овсянниковым и его школой в конце 50-х годов прошлого столетия [21, 22]. В работах JI.B. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова,
В.В. Пухначева, A.A. Никольского, Л.В. Капитанского, Ю.Н. Павловского, A.A. Бучнева, В.О. Бытева и других авторов впервые были изучены групповые свойства дифференциальных уравнений механики жидкости и газа и показано как эти свойства можно использовать для решения физически важных задач [2, 3, 7, 8, 9, 18, 19, 39, 40, 41]. В работе [23] Л.В. Овсянниковым была выдвинута программа ПОДМОДЕЛИ. Более детальное описание можно найти в [26]. Здесь же приведены базовые сведения, необходимые для выполнения программы ПОДМОДЕЛИ применительно к уравнениям газовой динамики (УВД)
pDu + Vp — 0, Dp + pdivu = 0, DS = 0, (0.1)
где D = dt + й V, V = (дх, ду, dz), и = (и, v, w) — вектор скорости, р — плотность, р — давление, S — энтропия, р = f(p,3) — уравнение состояния, да = д/да. Последнее уравнение для энтропии можно заменить уравнением для давления Dp + pa?divü = 0, где а2 = fp — квадрат скорости звука. Энтропия S определена с точностью до замены S —у g(S) с произвольной непостоянной функцией д. Это преобразование энтропии является преобразованием эквивалентности для уравнения состояния и всегда допускается УВД. Уравнения (0.1) представляют собой модель невязкого нетеплопроводного газа, который движется в отстутствии внешних источников энергии и силовых полей.

Рассмотрим как строится РЧИП. Инварианты из независимых переменных назначаются новыми независимыми переменными /,(£, х) = Ц, г—1,2,3. Остальные инварианты назначаются новыми искомыми функциями от переменных Д, Д, /3: Д(£,х,гг, р) = 12,1з), У—Выражая из этих
равенств г?, р как функции от независимых переменных £, ж и новых инвариантных функций Kj{Il,І2,Iз) и представляя давление как функцию общего вида р = р(Ь,х), получаем представление решения. В результате подстановки представления решения в (1.1) (вместо уравнения для Б используется уравнение для давления: Вр + 'уВр1<Ии = 0) и исследования совместности получаем РЧИП: систему из четырех дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих только переменные Д и новые инвариантные функции 7Д(Д, /2, /3), и выражения
N (Ь,х,р) =Р1(/1,/2,/з),
задающего давление в явном виде. При этом АД£, х, р) будет инвариантом оператора У С {Ххз,У}, являющегося базисом одномерной подалгебры. Тогда говорят, что РЧИП подалгебры размерности 2 редуцируется к инвариантной подмодели (ИП) одномерной подалгебры. Дополнительный инвариант р, содержащий давление и появляющийся в случае редукции, указан в табл. 1.7, 1.8.
Таблица
Инвариант, появляющийся в результате редукции
Номера подалгебр Рі
2.5 (С) 2.8 (Су1) рг т-1 27 0 ре 7 1 а