Определение распределения плотности среды по характеристикам ее волнового движения

• Автор: Шубин, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 131 с. : ил

Оглавление
Введение
1 Общая постановка задачи
1.1 Морская среда. Стратификация
1.2 Математическая постановка задачи
1.3 Приближения
1.3.1 Приближение «твердой крышки» на поверхности океана
1.3.2 Приближение Буссинеска
1.4 Основная система уравнений
2 Восстановление характера стратификации жидкости
2.1 Обратная задача определения функции д(г) при ее кусочно-постоянной аппроксимации
2.2 Восстановление распределения функции ц(г) при ее кусочнолинейной аппроксимации
2.3 Обратная задача свободных колебаниях вертикально неоднородной жидкости при наличии тонкой микроструктуры
2.3.1 Построение ВКБ-асимптотик
2.3.2 Метод сращиваемых асимптотических разложений
2.3.3 Определение параметров стратификации
2.3.4 Аппроксимация функции ц(г) (5-функцией
2.4 Метод интегральных уравнений
3 Гидроупругая аналогия
3.1 Обратная задача антиплоских колебаний упругого слоя
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Тонкая микроструктура

3.1.2.1 Построение асимптотик решения и их оценка . .
3.1.2.2 Построение ВКБ-асимптотик
3.1.2.3 Решение обратной задачи
3.1.3 Кусочно-постоянная аппроксимация
3.2 Восстановление параметров неоднородности стержня по частотам его продольных колебаний
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Тонкая микроструктура
3.2.2.1 Построение асимптотик решения и их оценка . .
3.2.2.2 Построение ВКБ-асимптотик
3.2.2.3 Решение обратной задачи
3.2.3 Кусочно-постоянная аппроксимация
3.2.4 Кусочно-линейная аппроксимация
Задача управления спектром
Заключение
Литература
Приложения
Приложение 1: Кусочно-постоянная аппроксимация д(г)
Приложение 2: Кусочно-линейная аппроксимация р(г)
Приложение 3: Тонкая микроструктура
Приложение 4: Гидроупругая аналогия

Введение
Актуальность темы диссертации. Данная диссертационная работа посвящена определению параметров стратификации сплошной среды по известным волновым характеристикам ее свободных колебаний и исследованию точности этого определения. В основном, в диссертации рассматривается задача восстановления плотности вертикально стратифицированной жидкости.
Актуальность решения такой задачи обусловлена тем, что в настоящее время исследование Мирового океана является одной из важнейших проблем науки и техники. Это связано с увеличивающимся значением в жизни человека Мирового океана. Однако, несмотря на все возрастающую интенсивность изучения этих процессов, уровень имеющихся сегодня знаний о их закономерностях не соответствует практическим потребностям человека.
Еще более актуальным является решение задач, в которых по некоторой исходной информации определяются основные характеристики рассматриваемого явления. Такие задачи принято называть обратными. Именно таким задачам посвящена данная диссертация. Следует заметить, что при рассмотрении обратных задач основным является построение такого алгоритма, который позволил бы получить представление о характере протекающего явления. Немаловажным здесь оказывается не только практическая реализуемость предложенного алгоритма решения обратной задачи, но и точность решения, которую этот алгоритм может обеспечить. Обычно исходная информация для решения обратной задачи берется из эксперимента с присущей эксперименту погрешностью измерения, поэтому необходимо выполнить исследование влияния точности входной информации на точность полученного решения обратной задачи.
Имеет смысл сразу отметить, что постановки и методы решения обратных задач не исчерпываются постановками и методами, приведенными в данной диссертации. Многообразие возникающих обратных задач очень трудно обо-

Считая, что значения и я к, лежащие на дисперсионных кривых, нам известны, поставим задачу об определении параметров функции ц(г). Для этого построим функцию следующего вида
заданы в (2.1.30). Числа Ыа и тУц — количество точек (пар значений фу, Д)), взятых с дисперсионных кривых1.
Минимум построенной функции достигается на точных значениях параметров функции д(г). Это справедливо, однако, не всегда. Если пары значений и и к берутся с разных дисперсионных кривых, то функция Ф(-) имеет несколько локальных минимумов, но глобальный минимум, однако, один. И он действительно достигается на точных значениях параметров функции д{г). Если же использовать значения и> и к с одной дисперсионной кривой (какой именно, роли не играет), то единственность решения обратной задачи нарушается. В этом случае, опуская одну из сумм в функции Ф(-), получаем, что имеет место несколько локальных минимумов и несколько глобальных. На Рис. 2.13 изображен график функции Ф(гі) (все остальные параметры фиксированы) для значений со я к с одной дисперсионной кривой, на Рис. 2.15 — для значений ши^с двух дисперсионных кривых, а на Рис. 2.17 — для значений и/ яке нескольких (более трех) дисперсионных кривых. На Рис. 2.14, Рис. 2.16 и Рис. 2.18 приведены аналогичные графики для Ф(^4). В случае использования только одной дисперсионной кривой (см. Рис. 2.13 и Рис. 2.14) имеет место несколько точек г или 24, в которых функция Ф(-) обращается в ноль (несколько минимумов). Если же использовать две или более дисперсионных кривых, то это уже не так (см. Рис. 2.15 - Рис. 2.18).
'Влияние .значений чисел ТУд и ТУд на решение обратной задачи, установленное непосредственными численными экспериментами, следующее: если каждое из чисел ТУд и ТУд меньше, чем количество искомых неизвестных (параметров функции д(г)), то процесс минимизации функции Ф из (2.1.31) крайне неустойчив, при многократном повторе дающий значительно отличающиеся друг от друга решения, многие из которых во много раз отличаются от искомых значений. Если же числа ТУд и Ив равны количеству искомых неизвестных или больше, то минимизация функции Ф при многократном повторе с несколько отличающимися начальными данными дает достаточно близкие решения обратной задачи и обладает вычислительной стабильностью. Поэтому при вычислениях здесь и далее брались значения чисел ТУд и Ид, равные количеству искомых неизвестных или несколько превосходящие его. Следует отметить, что метод минимизации, как известно, является одним из методов решения системы нелинейных уравнений и выбор значений чисел ТУд и ТУд не противоречит общему правилу равенства количества уравнений количеству неизвестных при построении системы уравнений.
(2.1.31)
Функции дд4^ и д^ являются левыми частями дисперсионных уравнений и