Обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза в теории нелинейных внутренних волн в стратифицированных потоках

• Автор: Полухина, Оксана Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 160 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА
ПОЛУЧЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ПОТОКАХ С ПОМОЩЬЮ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА
§1.1. Введение
§ 1.2. Исходные уравнения в полу-лагранжевой форме
§ 1.3. Вывод нелинейного эволюционного уравнения
§ 1.4. Внутренние волны в океане: приближения Буссинеска и твердой крышки .42 § 1.5. Уравнение Кортевега - де Вриза второго порядка и его асимптотическая
интегрируемость
§ 1.6. Воздействие интенсивных внутренних волн на динамику примесей в
приповерхностном слое жидкости
§ 1.7. Генерация нелинейных импульсов при взаимодействии встречных волн.
§ 1.8. Заключение
ГЛАВА
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ НЕЛИНЕЙНОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ СТРАТИФИКАЦИИ ПО ПЛОТНОСТИ И ТЕЧЕНИЮ
§ 2.1. Введение
§ 2.2. Решение линейной краевой задачи
§ 2.3. Коэффициенты эволюционного уравнения для двухслойного потока
§ 2.4. Поверхностная мода в двухслойном потоке
§ 2.5. Внутренняя мода в "почти" двухслойном потоке
§ 2.6. Внутренние волны в трехслойном потоке
§ 2.7. Внутренние волны в жидкости с непрерывной стратификацией
§ 2.8. Заключение
ГЛАВА
ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА В СЛУЧАЕ, КОГДА КВАДРАТИЧНАЯ И КУБИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНОСТИ ОКАЗЫВАЮТСЯ ОДНОГО ПОРЯДКА (УРАВНЕНИЕ ГАРДНЕРА)
§ 3.1. Введение
§ 3.2. Модифицированное уравнение Кортевега- де Вриза и уравнение Гарднера
первого порядка
§ 3.3. Уравнение Гарднера второго порядка
§ 3.4. Волновая динамика в рачках уравнения Гарднера второго порядка
§ 3.4.1 Уединенные волны
§ 3.4.2 Эволюция импульсного возмущения
§ 3.4.3 Взаимодействие уединенных волн
§ 3.5. Заключение
Заключение
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
Динамика потоков в стратифицированных средах в последние десятилетия вызывает особый интерес и внимание со стороны специалистов в прикладных областях. Такие потоки играют важную роль во многих физических процессах: как природных (реки, течения в озерах, водохранилищах, морях и океанах, паводковые потоки, ветры в атмосфере), так и связанных с деятельностью человека (охлаждение в реакторах, стоки промышленных предприятий, выбросы при авариях и т.п.).
Очевидным приложением теории волн в стратифицированных потоках является описание внутренних гравитационных волн, которые повсеместно распространены в озерах, океанах и атмосфере и играют большую роль в их динамике. Своим существованием они обязаны вертикальной неоднородности воздушной и водной сред. Перепады плотностей внутри жидкости могут быть незначительными (несколько процентов), но этого уже достаточно, чтобы начали работать силы Архимеда. В состоянии равновесия частицы находятся на глубине, соответствующей их плотности. Если их вывести из этого состояния, частицы совершат колебательное движение, которое при определенных условиях распространяется в виде волн. В случае произвольного устойчивого распределения плотности с глубиной приходится иметь дело с наиболее сложной в теоретическом отношении системой. Основная трудность здесь связана с тем, что в общем случае течение не является потенциальным, а волновое движение жидкости оказывается многомодовым.
Формы внутренних волн в Мировом океане весьма разнообразны. Относительно длинные и низкочастотные внутренние волны могут иметь квазисинусоидальный характер. Короткопериодные внутренние волны часто имеют форму, существенно отличающуюся от синусоидальной (с уплощенными гребнями и обостренными ложбинами) и преимущественно распространяются группами. Амплитуда таких волн может оказаться очень большой (порядка 100 метров) вследствие обычно малых изменений плотности, гак как в этом случае перемещение частиц между слоями не требует больших затрат энергии. На рис. 0.1 приведены характерные записи внутренних волн на шельфе Малин, Северная Атлантика [Small, Sawyer, Scott, 1999]. Видно, что амплитуда колебаний изотерм достигает 30-ти метров и уменьшается с приближением к поверхности.

Известно, что задача Штурма-Лиувилля (1.46) имеет бесконечный набор собственных функций Фу, и собственных значений су;, п = 0, 1, 2, ... [Миропольский, 1981]. Мы будем рассматривать только устойчивые волны, для которых с,, > Um = max U(y) и с„ > ит = min U(y). Достаточным условием исключения неустойчивых волн (таких, что ит < Re(c) < UM ) является следующее условие на параметр Ричардсона: Ri = N2 / Uy > 1/4 [Miles, 1961; Океанология, 1978а; Redekopp, 2001]. «Нулевая» мода, имеющая максимум на поверхности жидкости соответствует поверхностным волнам, все остальные моды с максимумом внутри жидкости соответствуют внутренним волнам. Далее мы будем рассматривать одномодовое распространение внутренних волн. Нужно также отметить, что каждая мода определяется с точностью до множителя-константы, и с физической точки зрения удобно выбрать эту константу таким образом, чтобы
Ф„=1- (1-48)
Теперь в приближении первого порядка функция А(^, т) в (1.44) представляет собой отклонения изопикнической поверхности от положения равновесия в точке, где Ф = Фщах, которую МЫ обозначим ута>£.
Из уравнения (1.40), подставляя ряды (1.44) и (1.45), в нулевом порядке по е получаем:
ы00(£,у,т) = -И(£,г)(Н-с)^г О-49)
Уравнение (1.42) можно записать в операторной форме:
Z— = М (1.50)

Условие совместности, или условие разрешимости неоднородной задачи (1.50) с граничными условиями (1.29), (1.43) в силу самосопряженности оператора 1 имеет вид: