Моделирование наката длинных волн на плоский откос и анализ реальных событий

• Автор: Диденкулова, Ирина Игоревна
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 199 с. : ил.

ГЛАВА 1. НАКАТ ДЛИННЫХ ВОЛН НА ПЛОСКИЙ ОТКОС
1.1. Введение
1.2. Свойства нелинейных волн на мелководье: форма, крутизна и спектр
1.3. Аналитическая теория наката длинных волн на плоский откос
1.4. Влияние второй гармоники и субгармоники на высоту наката длинных волн
1.5. Накат нелинейно деформированной волны на плоский откос
1.6. Накат одиночной волны на берег
1.7. «Волны-убийцы» на берегу: наблюдения и моделирование
1.8. Заключение
• ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ЦУНАМИ, ВЫЗВАННОГО
ИЗВЕРЖЕНИЕМ ВУЛКАНА КРАКАТАУ В 1883 ГОДУ
2.1. Введение
1 2.2. Извержение вулкана Кракатау и его последствия
2.3. Анализ инструментальных записей волн цунами 1883 года в Мировом океане
2.4. Моделирование распространения волн цунами, вызванных извержением вулкана Кракатау
2.5. Восстановление очага цунами 1883 года по мареографным данным
2.6. Сопоставление данных двух глобальных цунами в Индийском океане
2.7. Заключение
ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦУНАМИ-ПОДОБНЫХ ЯВЛЕНИЙ В РЕКАХ
3.1. Введение
^ 3.2. Цунами и цунами-подобные явления в российских реках и озерах
ф 3.3. Цунами 1597 года в Нижнем Новгороде и его моделирование
3.4. Моделирование аномальных колебаний уровня реки Волга во время землетрясения 1802 года в Козьмодемьянске
3.4. Заключение
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Исследование процесса наката длинных волн на берег необходимо для решения разнообразных практических задач: расчет зоны затопления побережья во время морских природных катастроф (наводнения, паводки, цунами, штормовые волны, «волны-убийцы»), оценка устойчивости берегов и пляжей, строительство портовых и береговых сооружений и т.п. Во многих случаях длина накатывающейся волны превышает глубину бассейна, поэтому здесь может использоваться так называемая теория мелкой воды, получаемая из уравнений гидродинамики в первом порядке по малому параметру, равному отношению глубины бассейна к длине волны. Вывод уравнений мелкой воды можно найти во многих книгах (Ламб, 1947; Стокер, 1959; Уизем, 1977; Лайтхилл, 1981; Ле Блон, Майсек, 1981; Ньюэлл, 1989; Арсеньев и др., 1991; Пелиновский, 1996). Эти уравнения, в общем случае нелинейные (амплитуда волны сравнима с глубиной бассейна), содержат переменные параметры, связанные с изменчивостью донного рельефа в прибрежной зоне. С математической точки зрения система уравнений мелкой воды является гиперболической, допускающей сохранение нескольких интегралов (массы, энергии), и для нее может быть поставлена задача Коши. Использование интегральной формы уравнений мелкой воды позволяет исследовать не только гладкие (непрерывные) решения, но и разрывные (обобщенные) решения, соответствующие движению ударных волн. Для гиперболических систем эффективными методами их решения являются метод характеристик, преобразование годографа и метод интегральных соотношений; математические вопросы решения гиперболических систем могут быть найдены в книгах (Курант и Гильберт, 1933, 1945; Курант, 1964; Рождественский и Яненко, 1968; Стокер, 1959; Ляпидевский, Тешуков, 2000). Если процесс наката волн на берег игнорируется, как в случае вертикальных стенок (отвесные берега или искусственные заградительные стенки), то задача нахождения волнового поля в области с фиксированной границей является традиционной в механике жидкости, хорошо разработанной в теоретическом плане и относительно просто реализуемой численно. Линейные задачи такого рода, сводящиеся, по существу, к нахождению резонансных колебаний бассейнов, трансформации волн над неоднородным рельефом дна, рефракции и дифракции волнового поля, существованию захваченных волн, суммированы во многих книгах; см., например (Сретенский, 1977; Лайтхилл, 1981; Ле Блон, Майсек, 1981; Мед 1989; Пелиновский, 1996). Нелинейные задачи являются более трудными, и аналитических результатов здесь немного. Среди них выделим накат
нелинейной волны на вертикальную стенку (Pelinovsky, 1995) и нелинейное взаимодействие мод в соединяющихся прибрежных бассейнах (Marcos et al, 2004).
В случае набегания волн на плоский откос решение уравнений мелкой воды приходится искать в области с заранее неизвестной подвижной границей, и зачастую определение закона движения этой границы является главным практическим выходом получаемых результатов. Решение задачи с подвижными границами имеет очевидные трудности при использовании как аналитических, так и численных методов, и основные результаты здесь получены, главным образом, в последние годы. Наиболее полно исследованы линейные задачи нахождения волновых решений в области с фиксированной границей (см., например, Стокер, 1959; Сретенский, 1977). При этом граничные условия на линии нулевой глубины, не очень-то понятны; в частности, используются сингулярные решения, обращающиеся в бесконечность при стремлении глубины к нулю - они могут моделировать (параметризовать) сток волновой энергии на берегу (обрушение и диссипация волн на сухом берегу). Впервые точное решение нелинейных уравнений мелкой воды в случае плоского откоса было получено Кэрриером и Гринспаном (Carrier & Greenspan, 1958), и эта работа послужила отправной точкой математических исследований решения нелинейных гиперболических уравнений в области с подвижной границей. Авторами использовано преобразование годографа, позволившее свести исходные нелинейные уравнения в области с подвижной, заранее неизвестной границей к линейным уравнениям в области с фиксированной границей. К сожалению, этот подход ведет к неявным выражениям для формул преобразования, так что нахождение, как самого решения, так и условий его существования, является весьма нетривиальной задачей. В последующем в рамках этого подхода были найдены точные и приближенные решения, отвечающие накату уединенных волн (Spielfogel, 1976; Мазова, Пелиновский, 1982; Pedersen and Gjevik, 1983; Synolakis, 1987; Голубцова и Мазова, 1989; Pelinovsky and Mazova, 1992; Tadepalli and Synolakis, 1994; Пелиновский, 1996; Carrier et al, 2003; Kanoglu, 2004). Эти решения использованы как для тестирования численных схем расчета наката волн на берег (Марчук и др., 1983; Пелиновский, 1985), так и для грубых оценок высот наката разрушительных волн типа цунами; см., например, книгу (Пелиновский, 1996).
А+ = шах {rj(t)} я Н2 + |cos(<£, / 2)|,
(1.4.10)

а максимальная амплитуда наката есть
Д+=шах{Д(0}»л/2Я2 +

ґ-1 (2
(1.4.11)
Качественно все эффекты сохраняются (немонотонность изменения амплитуд наката и ее зависимость, как от амплитуды гребня, так и от амплитуды ложбины), но величины экстремумов будут меньше, как мы об этом уже сказали выше. Фазовые соотношения меняются в случае субгармоники, и в формулах (1.4.10) и (1.4.11) появляется множитель ® фг/2 вместо 2 как в (1.4.5) и (1.4.6) для слабого обертона.
Накат бигармонической волны в широком диапазоне соотношений амплитуд Ф гармоник исследован численно. На рис. 1.4.4 приведены распределения положительных
амплитуд в падающей волне и на урезе для различных значений амплитуды и фазы второй гармоники. Как видим, качественное согласие с предсказаниями
асимптотической теории для слабого обертона имеется: амплитуда гребня падающей
волны минимальна вблизи л и максимальна вблизи нуля фазы. Также видно, что распределение положительных амплитуд в падающей волне симметрично относительно фазы ф2 = л. Для распределения положительных амплитуд наката тоже есть симметрия, но уже относительно ф2 = 5л/4. Амплитуда гребня наката минимальна вблизи 5л/4 и ^ максимальна вблизи л/4. Осциллограммы волнового поля показаны на рис. 1.4.5 для
ф почти сопоставимых амплитуд гармоник: Hi = 0.8Н/, когда волновое поле (на периоде)
представимо совокупностью большой и малой волн. При этом в случае отсутствия разности фаз между гармониками, гребни в падающей волне выражены более сильно, чем при максимальной расфазировке (фг = л). Более детальная зависимость амплитуды гребня падающей волны и амплитуды наката от фазы второй гармоники дана на рис.

Отмеченные особенности в осциллограммах падающей волны и подвижного уреза
проявляются в зависимости коэффициента КА+ от амплитуды и фазы второй гармоники
как это представлено на рис. 1.4.7. Как видно из рисунка, коэффициент усиления не является монотонной функцией амплитуды второй гармоники. Наиболее сильное 40 возрастание этого коэффициента происходит при значении фазы около л (см., также рис.