Исследование течений вязкой жидкости в каналах сложной формы

• Автор: Фирсов, Дмитрий Константинович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 97 с. : ил

Введение
Глава 1 Дискретизация уравнений Навье - Стокса
Некоторые сведения из теории разностных схем
§1.1 Проблема конечно-разностной аппроксимации уравнений Навье - Стокса

Система определяющих уравнений
Неявная конечно-разностная аппроксимация уравнений движения
Сходимость итерационных методов решения системы уравнений (1.1.3)
Обратимость матрицы Ъ
Дискретизация конвективной части
§ 1.2 Новый способ дискретизации уравнений Навье - Стокса, основанный на
алгебраическом разложении решения
Способ построения решения на основе алгебраического разложения
скоростей
Способ построения решения на основе разложения давления
Результаты и выводы
ГЛАВА 2 Компьютерная реализация алгоритмов вычисления течений
несжимаемой жидкости
§2.1 Сеточные генераторы
Простейший эллиптический сеточный генератор
Трехмерный сеточный генератор
$ 2.2 Конечно-разностный алгоритм на разнесенной сетке
Аппроксимация конвективной и диффузионной частей
Сходимость алгоритма
Достоверность результатов вычислений

§2.3 Реализация алгоритмов, основанных на алгебраическом расщеплении
расчетных величин
Пример расчетов на существенно неортогоналыюй сетке
SIMPLE процедура для решения системы (1.2.5)
Результаты и выводы
Глава 3 Численное исследование течений в трубах сложной формы
§3.1 Представление результатов расчетов
Преобразование координат из расчетного пространства в физическое
Визуализация траектории движения жидкой частицы
§3.2 Течение вязкой несжимаемой жидкости в трубе завязанной узлом
§ 3.3 Численная модель течения крови в сосуде с аневризмой
Реология крови
Пространственные течения в сосудах сложной формы
Постановка задачи и краевые условия
Оценка влияния неньютоновости среды на результаты расчетов,
рассматриваемых течений крови
Течение ньютоновской жидкости в трубе с несимметричным вздутием
§3.4 Кинкинг сонной артерии
Результаты и выводы
Заключение
Литература

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ

х ,х ,х - декартовы координаты;
Н— исследуемая область в физическом пространстве; у1,у2,у3 - криволинейные неортогональные координаты;
5 - область в вычислительном пространстве;
р', - коэффициенты замены переменных при переходе от декартовой

12 3 ~ „
системы координат х ,х ,х к неортогональнои, криволинеинои системе
координат у1,у2,у3;
J - якобиан перехода от декартовой хх2,х3 к криволинейной системе
координат
у1,у2,у3 (V = det(r|;));
О - некоторая разностная сетка, состоящая либо из прямоугольников, либо из параллелепипедов, накрывающая расчетную область 5;
Т[ - оператор сдвига по разностной сетке на к узлов в координатном
направлении і;
О - матрица, соответствующая дискретизации дифференциального оператора
grad =

д j д

д j д
1^хз J
ІУу ~ матрица, соответствующая дискретизации дифференциального оператора div =
( 8 а д ' і ( a j д і а /
[ах, дх2 ах3у ~ j { dyj ~Jr{ dyj П2 -Jri dyj
у=р/р - коэффициент кинематической вязкости, здесь р - плотность жидкости, а р - коэффициент динамической вязкости среды;
(7 - матрица соответствующая дискретизации дифференциального оператора
+ У/К-/ - у'2 конвективно-диффузионной части;

dv‘ dv-'

dxJ дх
- тензор скоростей деформации;
£)// = XXе//є/ / _ второй инвариант тензора скоростей деформации;

у = 2 ! ОН - напряжение сдвига в простейшем сдвиговом течении.

Систему линейных уравнений (1.2.5) можно решить несколькими способами:
1. Решить непосредственно систему (1.2.5).
2. Построить итерационный процесс, аналогичный алгоритму SIMPLE [21].
3. Применить альтернативный способ решения системы (1.2.5).
Первый способ принято считать не эффективным. Второй способ, на котором мы остановились, весьма эффективен при решении стационарных задач и менее сложен в реализации, нежели первый.

Для упрощения записи (1.2.5) введем обозначения: А

Вп О О В"

Ч О А
Dv - (Av],Av2),

образом:

у2 J
, Вп где некоторая матрица, А = |
. Тогда система (1.2.5) будет выглядеть следующим

bV2 )
Ґ -П Ап А 'Vn+n (hn V
0 V2 / рП+ У1 ип ЬР )
(1.2.6)
Легко заметить, что для системы (1.2.6) справедливо утверждение аналогичное утверждению 1.1.3-1:
Утверждение 1.2.
Если Ап и Вп положительно определенные матрицы (А положительно определенная, если 0 < (Ах,х),/х Ф 0 или все собственные значения больше
нуля), матрица системы (1.2.6) обратима, линейный оператор АС_1Аг не имеет других собственных значений кроме нуля и отрицательных чисел, то тогда итерационный процесс:
f^«(pm+l,«+l _ ут,п+1^ _ _-дПут,п+1 _Jjpm,n+1 с„(рт+1,п+1 _рт,^) = _1Шт+1,п+1 +ьп
(1.2.7)