Задачи со свободными границами с учетом поверхностных и расклинивающих сил

• Автор: Щербаков, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 301 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Существование обобщенного решения в задачах о
кавитационном обтекании. Плоский и осесимметрический
случаи
§ 1. Краевая задача для кавитационного обтекания с учётом
поверхностных сил
§ 2. Вариационный принцип для осесимметрического
кавитационного течения
§ 3. в - симметризация и её свойства. Существование
экстремальных элементов
§ 4. Необходимое условие существования экстремума
вариационной задачи
§ 5. Априорная оценка производной х¥г решения Ж
вариационной задачи
§ 6. Обобщённое краевое условие в задаче об
осесимметрическом кавитационном обтекании
§ 7. Плоское течение в невесомости
§ 8. Плоское кавитационное течение в поле гравитационных
сил с учётом поверхностных сил (существование обобщённого решения)
Глава 2. Аналитичность свободной границы
§ 1. Априорная оценка градиента функции тока в
осесимметрическом случае
§ 2. Бесконечная дифференцируемость свободной
границы
§ 3. Плоские кавитационные течения.
Аналитичность границ
§ 4. Аналитичность границы.
Осесимметрический случай
Глава 3. Зависимость вариационного решения от данных
задачи
§ 1. Поведение свободной границы в концевых
точках,

§ 2. Единственность вариационного решения задачи о
кавитационном обтекании с учётом сил поверхностного натяжения
§ 3. Зависимость решения вариационной задачи от параметров
течения
Глава 4. Кавитационное течение с учётом расклинивающих сил
§ 1. Постановка задачи. Физическая и математическая
модели
,л § 2. Вариационная задача. Построение функционала гауссовой
кривизны
§ 3. Минимизирующие последовательности вариационной
задачи
§ 4. Существование решения вариационной задачи
§ 5. Необходимое условие существования решения
вариационной задачи
§ 6. Конформные отображения, граничные оценки
для | VT |
4 § 7. Обобщённое краевое условие
§ 8. Аналитичность свободной границы
§ 9. Единственность решения вариационной задачи со
свободной поверхностью с учётом расклинивающих сил. Зависимость решения от параметров задачи
§ 10 Квазиконформные отображения и задачи механики
жидкости и газа
Глава 5. Обобщённое условие Лапласа. 0 - минимальные
(* поверхности. Вариационный принцип для 0 - минимальных
поверхностей
§ 1. Вариационные задачи и 0 - минимальные
поверхности
§ 2. Осесимметрические 0 - минимальные поверхности
Заключение
Список литературы

Введение
Теория краевых задач со свободными границами возникла в связи с многочисленными применениями в технике: смазка подшипников, изучение режимов водного баланса в водохранилищах, проблемы снижения силы сопротивления при движении тел в сплошных средах, изучение кавитационных эффектов, возникающих при движении аппаратов на подводных крыльях. Список таких проблем можно было бы продолжать неограниченно. Имеется большое количество научных работ, посвящённых исследованию такого рода задач. Некоторые из них указаны в списке литературы, приводимом в диссертации.
Данная диссертационная работа посвящена в основном исследованию кавитационных безвихревых течений идеальной несжимаемой жидкости с учётом поверхностных сил. При этом нами изучаются в основном осесимметрические течения, в которых учитываются силы, действующие либо на поверхности, разделяющей жидкую и газообразную фазы в том случае, когда толщина слоя промежуточной фазы не учитывается, либо в промежуточном слое при учёте толщины последнего. Кроме того, нами изучаются экстремальные проблемы, связанные с обобщением условия Лапласа, определяющего равновесные капиллярные поверхности.
Несмотря на то, что математические модели, соответствующие течениям жидкости с учётом поверхностных сил известны уже давно, изучались в основном плоские задачи с применением теории конформных отображений. Кажущееся естественным обобщение такого подхода на осесимметрические течения осложняется трудностями, связанными с необходимостью изучения общих квазиконформных отображений. Это объясняется тем, что система уравнений осесимметрического безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости является вырождающейся на оси симметрии, что приводит к тому, что инъективные решения такой системы не являются К-квазиконформными.
Избранный метод исследования является вариационным и в нём мы следуем по пути, намеченному в работах П. Гарабедяна, Г. Леви, Д. Спенсера и М. Шиффера (см. [16], [17]). В этом методе используется симметризация функций и поверхностей, восходящие к работам Г. Сегё, Г. Полна ( [71] ).Так как при исследовании новых краевых задач этим методом мы вводим новые функционалы, при этом не все из них являются выпуклыми, то возникает необходимость дальнейшего развития и симметризационных методов и самого вариационного метода.
Возможности предлагаемого нами метода исследования, являющегося развитием упомянутого метода, в наибольшей степени проявляются при исследовании осесиммметрических кавитационных течений, в которых учитывается толщина слоя, разделяющего жидкую и

u'.ydxdy + Ч
jj | V«2 |-у-dxdy

(1.3.9)

Ясно, что функции Ч , определяемые минимизирующей
последовательностью {Чф}, ограничены в банаховом пространстве
fF^(i?+,y), а потому последовательность j представляет
собой слабо сходящуюся последовательность (см. [90]) (функции Ч*п мы продолжаем нулем во внутренности областей CDn). Функции Чф образуют равномерную сходящуюся внутри D, последовательность, предел которой совпадает с функцией Ч/э, VF3 = lim . Поэтому
П—>сО
у _У_ _ашбо^ Ча-У-, п->со,в^(е+,у).
Теперь мы получим (см. [90])
(1-ЗЛО)

w(E',y')
то есть М, < lim inf М
I у2 < lim inf ГР. - — »-»«•

П-> оо
В дальнейшем мы можем считать, что {Мп } - сходящаяся последовательность. Таковой, следовательно, является и последовательность {Sn }.
Докажем теперь полунепрерывность снизу функционала S Обозначим через Д проекцию на а - ось кривой Е, расположенную в правом квадранте, а через Дп - проекции кривых Еп на эту же ось. Ясно, что lim Ап = Д. Продолжая, в случае необходимости,
П-> со
линейным образом кривые Sn (в качестве продолжений используем отрезки линий х = 0), мы можем считать, что все функции hn определены на отрезке Д = [Д, ,Д2 ]. Для продолжений функций hn мы оставим обозначения самих функций. Введём в рассмотрение комплекснозначные фу нкции Н п (а)= а+ih п (а). Из условия (1.3.8)
следует, что они принадлежат пространствам Wph(tj)_a (Д), р>1, функций Н = Н i + iH 2 , дифференцируемых в обобщённом смысле, норма в которых определяется по правилу