Динамика гидродинамически взаимодействующих частиц в вязкой жидкости

• Автор: Баранов, Виталий Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 152 с. : ил.

Ш ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНАЯ ЧАСТИЦА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ф ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
1.1. Постановка задачи
1.2. Решение в виде мультиполы-юго разложения
1.3. Обтекание неподвижной частицы однородным потоком
1.4. Обтекание неподвижной частицы линейным потоком
1.5. Обтекание неподвижной частицы квадратичным потоком
1.6. Обтекание неподвижной частицы кубическим потоком
1.7. Обтекание неподвижной частицы потоком произвольной степени
1.8. Движение частицы в заданном полиномом потоке
ф ГЛАВА 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА
ЧАСТИЦ
2.1. Взаимодействие двух частиц
ф 2.2. Взаимодействие любого конечного числа частиц
2.2.1. Постановка задачи
2.2.2. Выражения для скорости и давления
2.2.3. Преобразование граничных условий
2.3. Численное моделирование движения частиц
2.3.1. Движение двух частиц
2.3.2. Динамика трех частиц
2.3.3. Динамика четырех частиц
2.3.4. Скорости осаждения нечетного числа частиц
2.3.5. Осаждение различных частиц
2.4. Численное моделирование движения цепочки частиц
2.5. Численное моделирование осаждения облака частиц
2.5.1. Средняя скорость осаждения
2.5.2. Распределение по скоростям
2.5.3. Двумерное облако
'• ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ С ПЛОСКОЙ
СТЕНКОЙ
3.1. Постановка задачи и форма записи решения
3.2. Определение тензорных коэффициентов
3.3. Численное моделирование движения частиц вблизи стенки
3.3.1. Движение одной частицы вблизи стенки
3.3.2. Динамика двух частиц вблизи стенки
^ ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Диссертация посвящена исследованию гидродинамического взаимодействия частиц в потоке вязкой жидкости и влиянию этого взаимодействия на динамику самих частиц. Как известно, в системе “жидкость+частицы” существуют два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими на частицы. Примером таких сил могут служить силы, обусловленные наличием зарядов или дипольных моментов у частиц. Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц в жидкости. Распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц, если только они не находятся очень далеко. Соответственно, имеется влияние на распределение напряжений в жидкости у поверхности какой-либо частицы и, следовательно, на ее поступательное и вращательное движения, то есть на динамику самих частиц. В свою очередь, движение частиц меняет поток жидкости. Таким образом, гидродинамическое взаимодействие влияет на течение жидкости с частицами в целом и, соответственно, на все процессы, происходящие в такой системе и обусловленные гидродинамикой.
Актуальность рассматриваемой проблемы связана как с практикой создания новых материалов на основе вязкой жидкости, в которой частицы образуют определенную микроструктуру, так и с теорией моделирования поведения таких сред. В качестве примера можно привести коллоидные кристаллы, свойства которых активно изучаются в последние годы (Kegel [48], Koch [51], Pussey [60]. Trau, Saville [75], и др.). Частичный обзор методов моделирования таких сред выполнен в работе Sommerfeld [70]. Корректное описание поведения таких сред невозможно без учета гидродинамического взаимодействия частиц, поэтому ему и уделяется особое внимание в некоторых работах (например, Hofman, Clercx [39], Ladd [53], Yamamoto [79]).
В различное время создавались разнообразные методы моделирования движения жидкостей, содержащих твердые частицы. Как известно, рассмотрение движения одиночной частицы в неограниченной жидкости было выполнено еще Стоксом [101]. В дальнейшем успешно решались задачи обтекания частиц различными потоками [64], задачи движения несферических частиц [6,25,46,77,80].
Значительно сложнее оказалась задача о моделировании гидродинамического взаимодействия и движения под действием этого взаимодействия двух и более частиц в вязкой жидкости. В разное время предлагались разные подходы к этой проблеме. Метод отражений, впервые предложенный Смолу-ховским [68], получивший дальнейшее развитие в работах Факсена [28], Кин-ча [52], Вакии [76], заключается в последовательном вычислении отраженных полей от поверхностей всех тел, погруженных в жидкость. Метод отражений позволил получить хорошее аналитическое решение задачи о взаимодействии двух частиц и задачи о взаимодействии одной частицы и плоской стенки
(работы Факсена [28], Бреннера [18] и др.). Однако процедура этого метода оказалась достаточно сложна, так что уже для трех частиц было получено решение только для частного случая их расположения.
Поскольку решение общей задачи о взаимодействии нескольких сферических частиц оказалось довольно сложной проблемой, было развито несколько частных методов. Стимсон и Джеффри [71], используя биполярные координаты, получили точное решение для двух частиц, движущихся вдоль их линии центров. Gluckman [31,32] развил процедуру моделирования осесимметричного течения вокруг группы частиц, что позволило ему найти коэффициенты сопротивления для каждой из нескольких частиц при обтекании их однородным потоком, параллельным их линии центров. Leichtberg и др. [54] рассматривали проблемы устойчивости соосного движения группы частиц.
В работах Ganatos, Kim, Schmitz и др. [20,29,42,44,49,65] рассматривалось решение задачи о двух частицах через нахождение матрицы подвижности. В результате описанного в этих работах метода в большинстве случаев получалась система линейных уравнений, которая затем численно решалась. Решение находилось с большой точностью. Были найдены некоторые особенности решения, например, Бэтчелор [5] определил, при каком расстоянии между центрами двух одинаковых частиц достигается минимум сопротивления при движении этих частиц перпендикулярно линии центров.
Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии многих частиц. Были предложены различные способы, как это можно сделать [19,30,35,58,63,72-74]. Hocking [38] смог объяснить многие наблюдаемые эффекты, например, периодичность движения четырех частиц, расположенных в виде квадрата (в настоящей диссертации эта задача рассмотрена в главе 2). Бэтчелор с помощью статистических методов активно развивал метод парных взаимодействий [1-3], что позволило ему определять средние свойства суспензии, в которой случайно распределены частицы. Этот метод непосредственно использует решение задачи о взаимодействии двух частиц и целиком основан на предположении о маловероятности события, что три и более частицы окажутся поблизости друг от друга. Вследствие этого предположения его результаты оказались применимы только для слабоконцентрированных суспензий.
Метод стоксовой динамики, развитый в работах Bossis, Brady, Durlofsky [8-17,27], с самого начала развивался главным образом как численный метод. Процедура расчета этим методом основана на разбиении поверхности каждой частицы на сегменты с последующим вычислением средней плотности поверхностных сил, действующих со стороны жидкости на каждый из таких сегментов. Метод стоксовой динамики продолжает развивается в настоящее время и позволяет численно решать задачи о гидродинамическом взаимодействии нескольких частиц с приемлемой точностью.
Ь^2(хь + Я*)., ... вектор кйЬ постоянен, а вектор хь имеет постоянную длину Яь (рассматривается только данное граничное условие). Так как частицы не могут иметь более одной общей точки, то для любых частиц Аь и Ас1 выС помощью теоремы о почленном дифференцировании функционального ряда и алгебраических преобразований получим разложения
Все записанные ряды сходятся, причем скорость сходимости зависит от отношения с = т>/Кл, чем ближе оно к нулю, тем скорее сходятся ряды.
В дальнейшем будем считать, что суммы всех рядов (2.46) достаточно точно представляются своими первыми £ членами, причем это £ для всех рядов одно и то же. Тогда для всех к > 1 выполнены следующие приближенные равенства:
Обозначим через ЇЇь(хь) скорость невозущенного потока в каждой точке пространства, если систему координат привязать к центру частицы Аь.
полнено неравенство хь = Яь < Нс1Ь. Можно доказать, что при выполнении этого условия верно следующее разложение в ряд

+ Ьл) ■ хь + НйЪ|2
(2.46)