Разработка численного метода конформного отображения и его применение в вычислительной гидродинамике

• Автор: Сычев, Константин Александрович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 150 с. : ил

ВВЕДЕНИЕ
1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
1.1 .Историческая справка
1.2 Метод П.Ф. Фильчакова— метод последовательных конформных
ОТОБРАЖЕНИЙ
1.3 Вариационный метод М. А. Лаврентьева
1.4 Метод П.П. Куфарева
2. ЗАДАЧА ОБ ОБРАТНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ПОЛУПЛОСКОСТИ С РАЗРЕЗОМ
2.1 Постановка задачи
2.2 Геометрический способ
2.3 Итерационный метод
2.4 Применение аналитических методов
2.5 Восстановление функции ¥(г) по ее скачку
2.6 Обсуждение численных результатов
3 ОПИСАНИЕ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТУРНЫХ РАЗРЕЗОВ.
3.1 Выбор базового алгоритма
3.2 Технология преобразований
3.3 Численные примеры и тестирование
4 ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ БОЛЕЕ ОБШЕГО ВИДА
4.1 Отображение внутренних и внешних областей
4.2 Примеры расчета
4.3 Отображения двусвязных областей
4.4 Расчет течения в круговом кольце
5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ
5.1. Емкость и проводимость
5.2 Присоединенные массы
5.3. Задача С.Венана - Жуковского
6 ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИЕ ОБЛАСТИ
6.1 Математическая модель
6.2 Задача о нефтяной скважине
6.3 Растекание тяжелой жидкости
6.4 Всплывание газового пузыря
6.5 Каверна в скошенном потоке
7 ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ
7.1 .Задача о собственных колебаниях жидкости
7.2.ЇЕЧЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ НАД НЕРОВНЫМ дном
7.2.1 Математическая постановка
7.2.2 Отображение полосы с выступами над ровным дном
7.2.3 Решение задачи о течении над неровным дном
7.2.4 Результаты расчетов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
В вычислительной практике после появления быстродействующих ЭВМ стали господствовать метод конечных разностей, конечных элементов и другие подобные им методы для решения краевых задач. Было бы хорошо, чтобы они дополнились также и методом численных конформных отображений, тем более, что на его разработку затрачено много усилий известными математиками.
Поэтому в настоящей диссертации сделана попытка создания некоторого варианта численного метода конформных отображений, который позволил бы сделать его достаточно стандартным и доступным для практического применения. Необходимость в нем давно уже назревала, а его реализация стата возможной благодаря доступности современной вычислительной техники. Об актуальности данной проблемы говорит ряд работ зарубежных и отечественных авторов [56-58,91,94,96].
Такой численный метод задуман как некоторый алгоритм для пересчета координат точек из одной области в другую и обратно. Для этого нужно разработать специальные вычислительные процессы, позволяющие производить отображение широкого класса областей, которые можно было бы задавать не только в аналитическом, но и в графическом виде.
Он может пригодиться и в традиционных конечно-разностных методах, например, при конструировании расчетных сеток, снимая при этом затруднения, связанные со сложностью геометрической формы области; причем такие сетки автоматически будут получаться ортогональными. Но, для многих задач он сразу же дает их решение, без применения каких-либо разностных схем, одним лишь конформным преобразованием. В других случаях, в задачах с неоднородными краевыми условиями, требуется дополнительно использовать ещё быстрое преобразование Фурье.
Долгое время считалось, что область применения теории аналитических

Применяя эту теорию к нашему случаю, можно получить выражение для ¥, в виде рядов, содержащих Гамма-функцию:
У = В + Н£(-1):

(2.4.2)

У = В +
НУ Г(ап-1)

(2.4.3)
Ъ) п!Г(ап + п)
Опыт расчета по этим формулам показывает, что они вполне пригодны для вычислений. При больших значениях п получается следующая асимптотика для коэффициентов рядов:
, е ал/1-а " л/2тг Пл/п
Таким образом, ряды сходятся быстрее чем геометрическая прогрессия. Однако, с учетом затрат на расчет Гамма-функций, формулы (2.4.2)-(2.4.3) требуют гораздо большого времени счета, чем геометрический или итерационный метод.
2.5 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ \ (7.) ПО ЕЕ СКАЧКУ.
Еще один интересный способ нахождения функции У(2') основан на следующих соображениях. Функция ¥(7.) является аналитической в области Ъ, на бесконечности она ведет себя как ¥~2 ; на вещественной оси и на разрезе она принимает действительные значения, причем на разных сторонах разреза эти значения разные, и, таким образом, функция ¥ испытывает скачок ¥г(8)-¥ (8)=Н(8), где в -длина дуги разреза.
Если величина скачка Н(8) известна, то функцию ¥<2) можно найти во всей области 2, как решение задачи Римана частного вида [14]. Решение представля-