Движения жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн

• Автор: Хоперский, Андрей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 145 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Нейтральные кривые
§ 1.1. Постановка задачи
§ 1.2. Нелинейная система для возмущений
§ 1.3. Расчет нейтральных кривых
Глава 2. Амплитудная система
§ 2.1. Амплитудные уравнения
§ 2.2. Моторная подсистема
§ 2.3. Равновесия моторной подсистемы
§ 2.4. Расчет коэффициентов амплитудной системы
Глава 3. Переходы в моторной подсистеме
§ 3.1. Равновесия и их бифуркации
3.1.1. Случай подогрева внешнего цилиндра
3.1.2. Случай подогрева внутреннего цилиндра
§ 3.2. Циклы и их бифуркации
3.2.1. Циклы, ответвляющиеся от равновесий
3.2.2. Циклы, возникающие "из воздуха"
§ 3.3. Хаотические аттракторы
Заключение
Приложение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
В диссертации исследуются течения вязкой теплопроводной изотермически несжимаемой жидкости между двумя нагретыми до различных температур бесконечными вращающимися цилиндрами.
Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче представляет собой неизотермическое течение Куэтта — круговое течение, имеющее логарифмическое распределение температуры. Ему соответствует точное решение уравнений Навье-Стокса, теплопроводности, неразрывности и состояния, которое существует при любых значениях параметров задачи.
В экспериментах, однако, данное течение реализуется далеко не всегда: при изменении параметров (например, при увеличении скорости вращения внутреннего цилиндра) оно может потерять устойчивость и смениться вторичным режимом. При этом возможны два типа потери устойчивости неизотермического течения Куэтта. В результате монотонной вращательносимметричной неустойчивости оно сменяется вихрями Тейлора, а в результате колебательной трехмерной неустойчивости — автоколебательным режимом типа бегущей азимутальной волны.
Целью данной работы является исследование режимов, которые возникают в малой окрестности точки пересечения нейтральных кривых, отвечающих этим двум типам потери устойчивости неизотермического течения Куэтта.
Помимо общетеоретического интереса, изучение течений жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами привлекает внимание исследователей в связи с различными техническими, геофизическими и метеорологическими приложениями. Примерами могут служить проблема отвода тепла, выделяемого в роторе электромотора, задача исследования процессов, происходящих в быстро вращающихся подшипниках скольжения, проблема разделения многокомпонентных смесей в установках с цилин-

дрическими электрофоретическими камерами, изучение циркуляции воздушных масс в экваториальных зонах планетных атмосфер и др.
Заметим также, что неизотермическое течение Куэтта представляет собой особенно удобный объект для численных исследований благодаря тому, что переходы к достаточно сложным режимам движения жидкости возникают здесь при довольно малых числах Рейнольдса.
Первые экспериментальные исследования течений жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами были направлены на получение тепловых характеристик потока до и после потери устойчивости основного режима [121, 136, 140, 142, 154]. В них температурные градиенты и отношения угловых скоростей цилиндров были фиксированы и малы по абсолютной величине, а число Рейнольдса менялось. При переходе числа Рейнольдса через критическое значение основной режим течения жидкости сменялся вторичным режимом, подобным возникающим в изотермическом случае вихрям Тейлора — стационарным вращательно-симметричным (не зависящим от азимутальной переменной) течением, которое представляет собой набор тороидальных вихрей, регулярно расположенных вдоль оси цилиндров. Частицы жидкости в этом течении двигаются по спиралям, наматывающимся на торы. Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводило к тому, что возникала турбулентность, а в некоторых случаях — смешанный турбулентно-ламинарный режим, в котором на фойе развитой турбулентности четко просматриваются вихревые структуры, напоминающие вихри Тейлора. Интересно отметить, что турбулентные вихри Тейлора наблюдались и в изотермическом случае, в экспериментах Е. Кошмидера [146-148], но каких-либо теоретических моделей, воспроизводящих это весьма интересное явление, в настоящее время, видимо, нет.
Потеря устойчивости основного режима в неизотермическом случае фиксировалась экспериментаторами по появлению излома на графике зависимости числа Нуссельта от числа Рейнольдса. Он вызывается скачко-

2.3. Равновесия моторной подсистемы
Все равновесия моторной подсистемы удается найти аналитически. Они разбиваются на две группы: равновесия, лежащие на инвариантных плоскостях, и равновесия общего положения.
Как было показано в работах [58, 59], моторная подсистема (2.4) имеет следующие равновесия, лежащие на инвариантных плоскостях
1) Неизотермическое течение Куэтта.
Этому тривиальному равновесию моторной подсистемы соответствует основой стационарный режим (1.5), в котором компоненты поля скорости, температура и давление зависят лишь от радиальной переменной г. Частицы жидкости в этом течении двигаются по концентрическим окружностям, центры которых лежат на общей оси цилиндров.
2) Вихри Тейлора.
Это — вторичное стационарное вращательно-симметричное течение, в котором компоненты поля скорости, температура и давление зависят лишь от радиальной и аксиальной переменных г иг. Это течение 2тт/а периодично в аксиальном направлении. Оно представляет собой набор тороидальных вихрей, регулярно расположенных вдоль оси цилиндров. Частицы жидкости в этом течении двигаются по спиралям, наматывающимся на торы. Направления вращения частиц жидкости в соседних вихрях — противоположные.
3) Чистые азимутальные волны.
Ро = Р = Р2 = О, V/?
(2.8)
Ро = -а/А, Р1 = Р2 = о, //
(2.9)
Ро = 0, р = р = -РгКЯг +Дг), V/?
(2-10)