Вложенные подмодели газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью

• Автор: Макаревич, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР, ДОПУСКАЕМАЯ УРАВНЕНИЯМИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ С РАЗДЕЛЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
1.1. Основные формулы и определения необходимые для построения оптимальной системы
1.2. Оптимальная система шестимерной подалгебры
1.3. Оптимальная система двенадцатимерной алегбры Ь
1.4. Компактная запись оптимальной системы алгебры Ь
Глава 2. ГРАФ ВЛОЖЕННЫХ ПОДАЛГЕБР
2.1. Оптимальная система - основа для графа вложенных подалгебр
2.2. Основной фрагмент графа для оптимальной системы двенадцатимерной алгебры
2.3. Конечные фрагменты к основному фрагменту графа
2.4. Промежуточные фрагменты к основному фрагменту графа
2.5. Конечные фрагменты к промежуточным фрагментам графа
Глава 3. СИСТЕМА ВЛОЖЕННЫХ ПОДМОДЕЛЕЙ ДЛЯ КОНЕЧНОГО ФРАГМЕНТА ГРАФА ОДНОЙ ПЯТИМЕРНОЙ ПОДАЛГЕБРЫ
3.1. Согласованные дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования
3.2. Инвариантные подмодели
3.3. Частично инвариантные подмодели и решения
3.4. Дифференциально инвариантная подмодель
3.5. Вложенные инвариантные подмодели
Глава 4. КОЛЛАПС ИЛИ МГНОВЕННЫЙ ИСТОЧНИК ГАЗА НА ПРЯМОЙ И ВОЗМОЖНОЕ ОБОБЩЕНИЕ
4.1. Частично инвариантное решение четырехмерной подалгебры и
движение частиц и объемов

4.1.1. Частично инвариантное решение
4.1.2. Движение частиц и объемов
4.2. Движение звуковых характеристик, коноида и звуковой поверхности
4.2.1. Движение звуковой поверхности
4.2.2. Движение звуковых характеристик
4.2.3. Движение характеристического коноида
4.3. Инвариантные подмодели трехмерной подалгебры четырехмерной надалгебры
4.3.1. Инвариантные решения
4.4. Частично инвариантные подмодели трехмерной подалгебры четырехмерной надалгебры
4.4.1. Регулярные частично инвариантные решения ранга 1, дефекта
1, зависящие от всех пространственных переменных
4.4.2. Регулярные частично инвариантные решения, зависящие от
одной пространственной переменной
Заключение
Литература
Приложение А. Оптимальная система подалгебр двенадцатимерной алгебры Ли
Приложение В. Графы вложенных подалгебр
В.1. Конечные фрагменты к основному фрагменту графа
В.2. Промежуточные фрагменты к основному фрагменту графа
В.З. Конечные фрагменты к промежуточным фрагментам графа
Газовая динамика - естественная наука и основывается на наблюдении и анализе происходящих в природе, в технических устройствах и в специальных экспериментах движений газов и сопутствующих этим движениям явлений. Как и в других разделах механики, в газовой динамике можно выделить теоретическое направление, цель которого предсказать поведение газов и их взаимодействие с другими телами в реальных условиях путем построения адекватных математических моделей и изучения их поведения в соответствующих условиях [19, 20, 22, 45, 66].
Задача классической газовой динамики состоит в первую очередь в том, чтобы объяснить и описать качественно главные свойства и особенности течений газа в различных условиях. С точки зрения математики классическая газовая динамика является объектом приложения абстрактных теорем из алгебры, анализа, геометрии, нелинейных дифференциальных уравнений и других математических дисциплин [13, 46]. Кроме того, физические наблюдения за поведением газа приводят к новым математическим понятиям и новым задачам, решение которых развивает известные математические теории и способствует появлению новых аналитических и численных методов исследования нелинейных дифференциальных уравнений. Богатство теоретической газовой динамики заключено в большом количестве различных математических моделей и подмоделей, в разнообразии применяемых методов, в многочисленных точно решенных задачах, в разнообразии примененных численных методов, во множестве открытых проблем, в ценности ее выводов для практических приложений.
С недавних пор используется универсальный способ изложения методов газовой динамики, основанный на симметрийном (групповом) анализе дифференциальных уравнений [6, 43, 46, 47, 62]. Симметрийный анализ базируется на теории групп Ли и алгебр Ли, хорошо зарекомендовал себя при отыскании классов точных решений дифференциальных уравнений [44, 63]. Основополагающее начало было сделано норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899) [23, 24]. Теория групп Ли долгое время оставалась в стороне от возможных приложений к дифференциальным уравнениям уравнениям математической физики. Начиная с середины прошлого столетия исследования, выполненные академиком Л. В. Овсянниковым, его учениками и последователями, показали, что методы теории групп Ли яв-
2.3. Конечные фрагменты к основному фрагменту графа
Рассматриваются вершины 7фу = 1,2,3,4,10,26,27 в основании основного фрагмента графа. Для них прослеживаются все вложения подалгебр размерности к, 1 < к < 6. В качестве примера приводится построение конечного фрагмента Гх(7.10) к основному фрагменту графа. Конечная вершина фрагмента есть подалгебра 7.10, в которую вкладываются подалгебры 6.14 при значении параметров а — 0,6 = —2 и 6.26 (второй уровень графа). Третий уровень графа составляют три пятимерные подалгебры. Подалгебра 5.47 при значении параметра 6 = — 2 вкладывается в 6.14(а = 0, Ь = —2) и в 6.26. Подалгебра 5.40 вкладывается в 6.26 при значении параметра надалгебры а = 0. Параметр а присутствует в обеих подалгебрах 5.40 и 6.26, но при разных операторах, поэтому здесь и далее на ребрах графа указываются только значения параметров подалгебры. Значения параметров надалгебры не указываются. Подалгебра 5.10 не вкладывается ни в одну из подлагебр второго уровня, а вкладывается в подалгебру
7.10. Четвертый уровень графа составляют семь четырехмерных подалгебр. Подалгебра 4.14 при а = 0, Ь = — 2 вкладывается в подалгебру второго уровня графа 6.14(а = 0, Ь = —2), Подалгебра 4.51 при а = 0, Ь — —2 вкладывается в надалгебру 5.47(6 = — 2) при значении параметра надалгебры о = 0. Подалгебра 4.53 представлена в таблице 3 базисными операторами {1,2,4,611 + 12}. Она подобна подалгебре {2,3,5,611 + 12}, которая при 6 = — 2 вкладывается в подалгебры 5.40 и 5.47(6 = —2). Подалгебры 4.35 и 4.36 вкладываются в 5.40. Подалгебра 4.11 при а = 0,6 = —2 вкладывается в подалгебру третьего уровня графа 5.10 и подалгебру второго уровня графа 6.14(а = 0,6 = —2). Подалгебра 4.29 вкладывается в 5.10 и 6.26. При а = 0 подалгебра 4.29 вкладывается в надалгебру 5.40 (при значении параметра надалгебры а = 0). Таким образом, из вершины
4.29 в вершину 6.26 можно попасть двумя способами: 1) напрямую, то есть
4.29 : {2,3,4 +10, а7-(2)11 + 12} -> 6.26 : {2, 3, 5,6, 4 +10, о7-(2)11 + 12} при любых значениях параметра а; 2) через промежуточную вершину 5.40 при а = 0, то есть 4.29(о = 0) : {2,3,4 + 10, -(2)11 + 12} -+ 5.40(а = 0) : {2, 3,5,4 + 10, -(2)11 + 12} -» 6.26(а = 0) : {2, 3,5, 6,4 + 10, -(2)11 + 12}. Подобным образом перебираются оставшиеся трех-, двух- и одномерные подалгебры (см. рис. 2.2).
На графе введены следующие обозначения. Если подалгебра вклады-