Усредненные модели упругих композиционных материалов и элементов конструкций

• Автор: Колпаков, Александр Георгиевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 291 с. : ил

Оглавление
Глава А. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЖЕСТКОСТЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН И БАЛОК
1. Вариационные принципы для жестокостей неоднородной пластины
2. Вариационные принципы для жестокостей неоднородной балки .
Глава В. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ СТРУКТУРЫ. УСРЕДНЕННЫЙ ПОДХОД
1. Введение метод усреднения для напряженных композиционных материалов
1.1 Модель напряженного упругого тела
1.2 Метод усреднения в механике композитов
1.3 Метод усреднения в механике напряженных композитов
1.4. Усреднение конструкций
И.2. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
2.1. Усреднение в теории упругости композитов с начальными напряжениями
2.2. Слоистые тела с начальными напряжениями
2.3. Усреднение упругих конструкций с начальными напряжениями
2.4 Усредненные характеристики напряженных композитов и конструкций В.З. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ
3.1. Напряженная пластина (2-0 модель)
3.2. Напряженная пластина (3-0 модель, начальные напряжения в плоскости)
3.3. Напряженная пластина (3-0 модель, моменты начальных напряжений).
3.4. Напряженная пластина (3-0 модель, начальные усилия сравнимые с упругими постоянными материала пластины)
3.5. Мембрана (2-0 модель)
3.6. Мембрана (3-0 модель)
3.7. Напряженная пластина с системой контактов (З-Б модель)
В.4. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ СТЕРЖНИ, БАЛКИ И СТРУНЫ
4.1. Напряженная балка (2-0 модель)
4.2. Напряженная балка (3-0 модель, осевые начальные напряжения)
4.3. Напряженная балка (3-Б модель, моменты начальных напряжений).
4.4. Струна (1-Б модель)
4.5. Струна (3-0 модель)
4.6. Напряженная балка с системой контактов (3-0 модель).
Глава С. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УСРЕДНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Усреднение в задаче термоупругости для балки периодической структуры
2.Усреднение в задаче термоупругости для пластины периодической структуры
3. Усредненная модель для пластины с актуаторами 4 Усредненная модель для балки с актуаторами
5. Применение метода усреднения для расчета стержневых конструкций типа пластин и балок
Глава Б. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ И ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИТИКАМИ
0.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИТИКАМИ
1.1. Задача проектирования для слоистых композитов с заданным набором усредненных характеристик
1.1. Усредненные характеристики
1.2. Некоторые формулы для вычисления усредненных характеристик
1.3. Усредненный критерий прочности
1.4. Задача проектирования
1.5. Условие разрешимости
1.6. Задача проектирования с учетом прочности
1.7. Задача проектирования наиболее прочного композита
1.8. Метод решения ЗВК в общем случае
Н.2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С УЧЕТОМ ТЕРМОУПРУГИХ СВОЙСТВ
2.1 .Усредненные характеристики
2.2. Формулы для вычисления усредненных характеристик
2.3. Возможные значения усредненных характеристик
2.4. Усредненный критерий прочности для термоупругой задачи
2.5. Задача проектирования
2.6.Случай у^сопб!
1).3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ УСРЕДНЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Усредненные характеристики
3.2. Усредненный критерий прочности
3.3. Задача проектирования композита с заданными усредненными упругими характеристиками
3.4. Задача проектирования с учетом локальной прочности
3.5. Метод решения ЗВК
3.6. Проектирование с учетом прочности связующего
3.7.Примеры
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Основы асимптотической теории усреднения были заложены в работах Дюво (1979), Babuska (1976), Sanchez-Palencia (1980), Marino и Spagnolo (1969), Tartar (1977), Bensoussan et al.{1983), Бахвалов и Панасенко (1989). Доказательство возможности замены рассмотрения композиционных материалов однородными - усреднение, было одном из основных результатов математической теории усреднения.
При рассмотрении композитов возникают две задачи:
1. Первая - описать композит как единый материал (ясно, что он исходно не таков). Это - описание на макроуровне (собственно задача усреднения)
2. Вторая - описать начальные напряжения в фиктивном материале. Это -задача описания на микроуровне. Она также относится к задачам усреднения, так как целью является выразить локальные напряжения через усредненные величины.
Представляется, что решение задач, а попытки их решения предпринимались неоднократно, найдено в методе усреднения. Этот хорошо обоснованный (часто - на математическом уровне строгости) метод адекватен задаче и вопросам, задаваемым по отношению к композитам регулярного строения. Метод также прозрачен с механической точки зрения, и многое математическое выкладки метода имеют механическую интерпретацию.
Отметим что для композитов, особенно для композиционных балок и пластин и пористых материалов, разница между композиционным материалом и многоэлементной конструкцией теряется. Например, решетчатая балка может быть рассмотрена как балка, сделанная из некоторого однородного материала. Применение асимптотического метода усреднения дает возможность рассмотреть "композиционный материал" и ’’композиционную конструкцию” исходя из традиционных подходов. В этой связи не будем делать различия между "композиционным материалом" и "композиционной конструкцией ".
В практике выделяют несколько основных типов конструкционных элементов: (а) твердые тела и пространственные конструкции, (Ь) пластины и мембраны, (с) балки, стержни, и струны. В настоящее время методы усреднения известны для всех типов конструкционных элементов.
Решение задачи ^(и)-> шах ц£V
2 3 2
есть N+=N +N , где N , N - решения (А2.1.1). Используя это равенство и
замечание 3, можно проверить что

А222+2А232+А233=<а!,,, (у)(у2+у3) > - .Ги(и) (А2.4.4)
где .1и(и) дается (А2.4.3).
Используя формулу (А2.4.4), получаем пару вариационных принципов 2 2
для выражения А 22+2А 32+А 33, Следовательно, если изгибные жесткости А222, А2эз вычислены (оценены), то и жесткости А223, А232 могут быть вычислены (оценены)
Рассмотренный случай показывает, что вариационный принципы для ЯЗ

нельзя применить напрямую для вычисления жесткостей А 23, А 32.
А.2.5. Осевая жесткость.
.ТтЛ"ГТ.ЛЛЛЧ7 ТТ 1- ( I Л

ЯЗ для вычисления осевой жесткости балки А°п имеет вид [Колпаков ПММ
1991]
(ацк1(У)Нк,Г11 (У))и=0 в У (А2.5.1)
(ауи(У)^к,Гау11(У))^=0 на со,
1Ч(у) периодична по у, ею
Осевая жесткость подсчитывается по формуле
А°1 Г<а1111(У)-ацк1(У)Мк,1> (А2.5.2)
Как выше, получаем вариационные принципы и оценки для осевой жесткости. Приведем только окончательный результат.
Функционал Лагранжа имеет вид 3„(и)=1 /2<2а„,, (у)ии. - ар1(у)ииим> (А2.5.3)
и рассматривается на V (А2.2.2).
Функционал Кастильяно имеет вид .10(ст)=1 /2<а'1ик|(у)стисгк1+аи11(у)> (А2.5.4)
и рассматривается на множестве Е (А2.2.4).