Решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах

• Автор: Зингерман, Константин Моисеевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 233 с. : ил

Оглавление
Введение
1 Основы теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций
1.1 Кинематика деформаций
1.2 Определяющие соотношения
1.3 Уравнения равновесия и граничные условия
1.4 Постановка краевых задач теории наложения больших упругих
и вязкоупругих деформаций
2 Методы и алгоритмы решения плоских задач теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций
2.1 Общий алгоритм решения задач о последовательном образовании отверстий
2.2 О применении метода последовательных приближений к решению задач упругости
2.3 Решение линеаризованной задачи
2.4 Применение метода Ньютона -Канторовича к решению задач .
2.5 О решении задач вязкоупругости
2.6 0 построении конформно отображающих функций для деформированного контура
3 О системах аналитических вычислений,ориентированных на решение плоских задач нелинейной упругости и вязкоупругости
3.1 Модуль для выполнения аналитических операций над изображениями по Лапласу
3.2 Модуль для выполнения аналитических операций над функциями комплексных переменных
3.3 Модуль для выполнения операций над тензорами
4 Анализ результатов решения задач
4.1 Задачи об одном отверстии
4.2 Взаимовлияние двух и более отверстий
4.3 Вязкоупругие задачи
ОГЛАВЛЕНИЕ
5 Эффективные свойства пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении
5.1 Осреднение по представительной области
5.2 Осреднение по ансамблю
5.3 Результаты расчетов
5.4 Эффективные свойства при наложении конечных деформаций .
Заключение
Приложен ия
I Точное решение одной задачи нелинейной упругости при больших деформациях
II О зависимости решения от константы /3 для потенциалов Муни
и Черных при плоской деформации
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Широкое применение в современной технике изделий из высокоэластичных материалов [153]. а также развитие механики разрушения [97, 13-3, 147, 148, 198] обусловили интерес к теории больших (конечных) деформаций. Общие положения этой теории сформулированы, в частности, в монографиях [3, 31, 33, 114, 134, 141, 168, 185, 200, 229, 235]. Одним из важных направлений теории больших деформаций является исследование эффектов наложения больших деформаций. Теория наложения больших деформаций для тел из упругого материала была предложена в [173, 174] и обобщена на случай многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций в [115]—[118], [120, 121, 181], [223]—[225]. В теории многократного наложения больших деформаций рассматриваются многоэтапные процессы деформирования, когда тело под влиянием последовательно прикладываемых к нему внешних воздействий скачкообразно переходит из одного состояния в другое, причем деформации, вызванные переходом в каждое новое состояние, конечны. Такой подход позволяет в рамках статических и квазистатических постановок задач и соответствующих методов их решения учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия. Под внешним воздействием в теории многократного наложения больших деформаций понимается не только приложение к телу внешних поверхностных или массовых сил, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. образование отверстия).
В теории многократного наложения больших деформаций используется следующая модель образования отверстий. В начальном состоянии в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем под действием внешних сил в теле возникают начальные деформации. Тело переходит в первое промежуточное состояние. В этом состоянии в теле намечается замкнутый контур (будущая граница первого отверстия). Часть тела, ограниченная этим контуром, мысленно удаляется, а ее действие на оставшуюся часть тела заменяется (по принципу освобождаемости от связей) силами, распределенными по этому контуру. Далее эти силы «мгновенно» (без динамических эффектов) изменяются, принимая некоторую заранее заданную величину и направление (в задачах вязкоупругости это происходит в некоторый момент времени). В результате в теле возникают дополнительные большие деформации и соответствующие им напряжения, которые накладываются на начальные. Изменяется форма граничной поверхности. Тело переходит во второе промежуточное состояние. Далее образование отверстий может быть продолжено по той же схеме.
Глава 1. Основы теории

В задаче об одновременном образовании в предварительно нагруженном упругом теле отверстий, форма которых задана в конечном состоянии, также можно выделить три состояния тела. Постановка задачи осуществляется в координатах конечного состояния и включает формулы (1.4.18)-(1.4.22), (1.4.24), (1.4.6)—(1.4.12) при п = 2, а также соотношения (1.4.6)—(1.4.12) при п = 1.
Несколько сложнее формулируется задача об одновременном образовании отверстий в вязкоупругом теле, когда форма их задана в момент времени т2, более поздний, чем момент образования отверстий т1. В этом случае целесообразно выделить четыре состояния тела: начальное (ненагруженное), первое промежуточное (в момент времени тт перед образованием отверстий), второе промежуточное (в момент времени т2) и текущее (при < > т2). Постановка задачи выполняется в координатах второго промежуточного состояния и включает соотношения (1.4.1)—(1.4.5), (1.4.13)—(1.4.17) при п = 3, а также соотношения (1.4.18)—(1.4.22), (1.4.24), (1.4.13), (1.4.14) при га = 2 (для нахождения Ф0,2).
Наконец, задача о последовательном образовании отверстий, форма каждого из которых задана в момент его образования (общее число отверстий N — 1) естественным образом «расщепляется» на (Л1 — 1) задачу об образовании первого, второго, ... , (Л' - 1)-го отверстия. Задача об образовании Л;-го отверстия (к = 1,..., N — 1) формулируется и решается в координатах к-го промежуточного состояния, и постановка этой задачи включает соотношения (1.4.1) (1.4.17) при га = £ + 1. Как уже отмечалось ранее, при решении этой задачи учитывается наличие в теле ранее образованных отверстий и вызванных их образованием конечных деформаций.

Напомним, что в граничных условиях (1.4.3), (1.4.20) Гп — граница тела в га-м состоянии в координатах к-го состояния. В частности, в задаче
об одновременном образовании отверстий, форма которых задана в момент
образования, Гг — заданная граница отверстий в момент их образования, а
Г2 — граница отверстий в конечном состоянии/определяемая при решении.
В задаче об одновременном образовании отверстий, форма которых задана в
конечном состоянии, г2 — заданная граница отверстий конечном состоянии,
а Г2 — граница отверстий в момент образования, которая определяется при решении. В задаче о последовательном образовании отверстий, форма кото-

рых задана в момент образования, Г п — граница первых (га — 2) отверстий после их образования (в (га — 1)-м состоянии) вместе с намеченной в этом состоянии границей (га — 1)-го отверстия.
В дальнейшем при решении задач ограничимся задачами о плоской деформации и плоско-напряженном состоянии. В случае плоской деформации, как известно, деформации в теле происходят в определенной плоскости [137], а границы полостей, возникающих в теле, представляют собой цилиндрические поверхности, образующие которых перпендикулярны этой плоскости.
В случае плоско-напряженного состояния сг0^пзз — <т0п1, = <70п23 = 0, а компоненты тензора напряжений <т0,п не зависят от х3 [137, 169]. Плосконапряженное состояние приближенно реализуется в тонкой пластине, если