Обратные коэффициентные задачи для стержней

• Автор: Денина, Ольга Витальевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 114 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. Общая постановка обратных коэффициентных задач для тел конечных размеров и их сведение к интегральным уравнениям
§1.1. Формулировка операторных уравнений в обратных коэффициентных
задачах
§1.2. Формулировка операторных уравнений в обратных коэффициентных
задачах для стержней (продольные колебания)
§1.3. Формулировка операторных уравнений в обратных коэффициентных
задачах для стержней (изгибные колебания)
§1.4. О единственности решения некоторых обратных задач
§1.5. Методы решения некорректных задач
ГЛАВА 2. Исследование прямых и обратных задач для неоднородных стержней при продольных колебаниях
§2.1. Определение модуля Юнга при анализе продольных колебаний
неоднородного стержня
§2.2. Определение плотности при анализе продольных колебаний
неоднородного стержня
§2.3. Определение полости малого размера при анализе продольных
колебаний неоднородного стержня
§2.4. Определение модуля сдвига при анализе крутильных колебаний неоднородного стержня

ГЛАВА 3. Исследование прямых и обратных задач для неоднородных
стержней при изгибных колебаниях
§3.1. Определение модуля Юнга при анализе изгибных колебаний
неоднородного стержня
§3.2. Определение плотности при анализе изгибных колебаний
неоднородного стержня
§3.3. Восстановление модуля Юнга и плотности при совместном анализе продольных и изгибных колебаний неоднородного стержня
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Обратными коэффициентными задачами теории упругости называют задачи, в которых требуется определить коэффициенты дифференциальных операторов по некоторой дополнительной информации о решениях, например, по амплитудно-частотным характеристикам. Первые обратные коэффициентные задачи были посвящены в первую очередь проблемам геофизики и сейсморазведки, и долгие годы эти области знания стимулировали развитие математического аппарата и численных методов в этом направлении. В последние годы область приложения таких задач постоянно расширяется. Это проблемы акустического контроля при создании функционально-градиентных материалов, задачи эластографии в медицинской диагностике мягких тканей, контроль скорости восстановления костной ткани в месте перелома, задачи идентификации новых композиционных материалов сложной структуры, неразрушающего контроля элементов конструкций.
Выделяют три типа обратных коэффициентных задач в теории упругости. Первый тип — это задачи, в которых необходимо найти модули Ляме и плотность как функции координат по измерению поля смещений на границе. Второй тип — это задачи, к которым приводятся геометрические обратные задачи об определении форм полостей или включений малого характерного размера. Третий тип — задачи об определении структуры существенно неоднородного предварительного напряженного состояния.
В настоящей работе решены некоторые задачи первого и второго типов для стержневых систем.
Первый тип задач был инициирован в первую очередь проблемами геофизики и исследовался достаточно давно, начиная с классической работы Герглотца [102]. В начале XIX века в геофизике был поставлен вопрос: можно ли, располагая картиной движения фронтов поверхностных

Пусть задача 3 имеет два решения м>г (х,ю), рх (х), у>2 (х,со),р2 (х). Составим дифференциальное уравнение относительно разностей, х(рс,со) = мх(х,а))-м>2(х,со), Я(х) - рх (х)-р2 (х), которое будет иметь вид
(Дх)Е2у"У -й)2Е(х)(11м>1 + р2у) = 0 (1.4.21)
Кроме того, введенные функции должны удовлетворять следующим граничным условиям у(0,а>) = 0 у"(/,©) = О

0-4.22)
V'(/,&) = 0 '
Из обобщенного соотношения взаимности получим:

К(х)мх(х,(о)м>2(х,б))(}х = 0 (1.4.23)

Если рх, р2 6 С [о, /] и ®4 < &>,, ТО м>х, м>2- непрерывны ПО X и аналитические по со; м'1и>2>0, всюду кроме точки х = 0, где м>0,со) = 0. Следовательно, Е(х) = 0 везде кроме точки х = 0. Поэтому, аналогично задаче о продольных колебаниях, для того, чтобы обеспечить единственность нахождения функции р(х), необходимо иметь априорную информацию о ее значении в точке х = 0.
1.5 Методы решения некорректных задач.
Отметим, что процедура построения решений обратных задач существенно опирается на методы исследования интегральных уравнений Фредгольма первого рода с гладкими или непрерывными ядрами, полученными в предыдущих параграфах. Отметим, что такая задача является некорректной и требует регуляризации в той или иной форме.