Нелинейные волновые процессы в среде с дисперсией

• Автор: Пейпман, Тыну Асерович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Таллин
• Количество страниц: 108 c. : ил

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
1.1. Уравнения движения и постановка задачи
1.2. Двумерное эволюционное уравнение

1.3. Одномерное эволюционное уравнение
2. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

2.1. Базисный алгоритм
2.2. Устойчивость численного алгоритма
2.3. Тестовые задачи
3. АНАЛИЗ ЭВОЛЮЦИИ ВОЛНОВЫХ ПРОФИЛЕЙ
3.1. Одномерная задача с дисперсией
3.2. Одномерная задача с релаксацией
3.3. Двумерная задача с дисперсией
3.4. Двумерная задача в неоднородной среде с дисперсией
3.5. Поперечное распределение в пучке
ЗАКЛЮЧЕНИЕ |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Современная теория распространения волн деформации все чаще обращается к более точному математическому моделированию волновых процессов. Во многих случаях известные линейные модели бездиссипативной среды оказываются недостаточными и необхо-

димо учитывать добавочные эффекты, такие как нелинейность, диссипация, дисперсия, релаксация, дифракционная расходимость, а при изменении свойств среды - ее неоднородность. Высокой точности требуют^ например, задачи неразрушающего контроля с применением ультразвуковой техники, динамические задачи теории упругости с определением экстремальных напряжений и ускорений и др. В данной работе рассматриваются волновые процессы деформации с учетом нелинейности, дисперсии и неоднородности среды.

Задачи распространения нелинейных волн деформации являют-

ся частью нелинейной теории упругости /13, 14/. Основы этой теории представлены, например, в работах /13, 14, 23, 32, 51, 60, 68/, где рассматривается построение математических моделей упругой среды, исходя из общих законов сохранения. Динамическим задачам нелинейной теории упругости полностью посвящена

монография /60/, где представлены основы теории и рассматривается распространение нелинейных волн деформации в твердом теле,
а также ряд других работ /10, 15/. Эти работы использовались

как основополагающие при построении математических моделей в представляемой диссертации.
Учет эффектов нелинейности, дисперсии и дифракционной расходимости особенно важен в случаях, когда эти явления приводят к сильному искажению профиля волны и изменению амплитуды. Дисперсионные свойства могут быть обусловлены микроетрук-

турой или геометрией среды. Построение математической модели среды с микроструктурой рассматривается в работе /21/, где

поправка в уравнениях движения теории упругости зависит от расстояния между отдельными элементами микроструктуры. Дисперсионные эффекты, ! обусловленные геометрией среды, учитываются поправкой Рэлея о связи продольной и поперечной деформаций /83/.
Влияние релаксации рассматривается во многих работах /17, 20, 45, 82/, где ставится задача нахождения ядра релаксации, более точно описывающего исследуемые эффекты и дающего хорошее сопоставление с экспериментом. Различные механизмы диссипации вообще исследованы во многих работах /19, 44, 46/.
Особо следует отметить работу /55/, в которой дана общая методика учета разных добавочных эффектов и построены матема-

тические модели для сред с диссипативными, дисперсионными, релаксационными свойствами, а также для неоднородной среды с медленно изменяющимися свойствами. Рассматривается также построение математической модели двумерного процесса в диссипативной среде.
Во всех случаях учет добавочных эффектов приводит к су-

щественному усложнению уравнений движения теории упругости, которые становятся громоздкими для непосредственного анализа конкретных волновых процессов. Даже в линейной постановке только в некоторых случаях удается построить замкнутые решения. Число точно решаемых нелинейных задач еще меньше. В связи с этим интенсивно развиваются приближенные методы, которые

можно разделить на три группы /43/:

1. Приближенный анализ точного решения /II, 53/.
2. Метод возмущений для анализа решений с малым отклоне-

нием от известного /24/.

максимальная амплитуда первого солитона, ск0 - амплитуда начального условия, в рассматриваемых нами случаях достиг значения 2,2 ... 2,9. Линии на рис. 3.8 (сплошные для воздействия
(3.5) и прерывистые для воздействия (3.4)) являются в определенном смысле условными, из-за неполного соответствия моментов времени в расчетах. С такой же условностью получены и линии, представляющие результаты из /3-7/. Число солитонов существенно зависит не только от значения параметра ул , но и от начального воздействия.
При воздействии (3.4) значение амплитуды солитона в бесконечности ^ = 0. В случае монохроматического воздействия
(3.5) / 0 и солитоны образуются на определенной нулевой
линии (рис. 3.5, рис. 3.6). В рассматриваемом интервале амплитуда (2>оо остается постоянной и равняется приближенно -0,7. Следовательно, в случае монохроматического начального воздействия фазы сжатия и разрежения искажаются различным образом (рис. 3.5 и З.б); в данном случае фаза сжатия имеет большую абсолютную амплитуду нежели фаза разрежения.
Такая неравномерность искажения импульса имеет существенное значение в задачах нелинейной акустики и в задачах концентрации напряжений. Процесс консервативный, т.е. происходит только перераспределение энергии с концентрацией ее в более узких областях. Существенный рост амплитуды (см. рис. 3.7) волны может привести даже к невыполнению определенных критериев прочности.