Исследование и решение системы двумерных уравнений идеальной пластичности

• Автор: Гомонова, Ольга Валерьевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 138 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА УРАВНЕНИЙ
ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
§1. Введение в групповой анализ дифференциальных уравнений
пластичности
§2. Высшие симметрии дифференциальных уравнений
§3. Законы сохранения
ГЛАВА II
СИММЕТРИИ, ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
§1. Высшие симметрии уравнений, описывающих двумерное поле
скоростей деформаций идеальной пластической среды
§2. Законы сохранения уравнений, описывающих поле скоростей
деформаций двумерных уравнений идеальной пластичности
§3. Новые точные решения, описывающие двумерное поле скоростей для
решения Прандтля
ГЛАВА III
ПОСТРОЕНИЕ НОВЫХ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДВУМЕРНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОГО ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
§1. Симметрии уравнений идеальной пластичности
§2. Новые точные решения уравнений пластичности
§3. Симметрии второго порядка дифференциальных уравнений,
описывающих одномерный поток гранулированного материала
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию и решению системы двумерных уравнений идеальной пластичности.
Актуальность. Теория пластичности изучает основные закономерности пластических деформаций материалов, устанавливает связь между напряжениями и деформациями или скоростями деформаций в пластически деформируемой области.
Как известно, твердые тела являются упругими лишь при малых нагрузках; при воздействии более или менее значительных сил тела способны проявлять пластические свойства, поэтому наиболее широкое практическое применение теория пластичности получила в тяжелой промышленности, в частности, в металлургии и машиностроении, а также строительной механике, горном деле и т.д. Важнейшие технологические процессы - штамповка, прокат и волочение металла, ковка, - описываются дифференциальными уравнениями пластичности.
Исследованию систем уравнений теории пластичности для плоского случая посвящены труды Б. Сен-Венана [51], М. Леви [29,30], Р. Мизеса [31], Л. Прандтля [41, 42], А. Надаи [35], Р. Хилла [56, 64], X. Треска [68], С. А. Христиановича [57, 58], В. В. Соколовского [52], Б. Д. Аннина [1, 61, 62], Д. Д. Ивлева [22, 23, 25], А. Ю. Р1шлинского [25, 26], С. И. Сенашова [22, 45-50, 67] и др.
Выведенные более сотни лет назад уравнения пластичности до настоящего времени исследованы недостаточно. Традиционно такие дифференциальные уравнения решаются численно или аналитически. На сегодняшний день при массовом распространении ПЭВМ широкое применение находят численные методы решения, которые обладают общеизвестными недостатками. За всю историю исследования системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных её решений, каждое из которых описывает реальный физический процесс.

Аналитические решения позволяют описывать реальное напряженно — деформированное состояние пластической среды; они также широко используются для тестирования численных методов и программ.
Таким образом, получение новых точных решений двумерной системы уравнений идеальной пластичности является,актуальной задачей.
Целыо работы является построение новых точных решений двумерных уравнений идеальной пластичности с помощью исследования этих уравнений методами группового анализа.
Научная новизна:
1. Найдены новые точные решения системы двумерных уравнений идеальной пластичности, которые, в частности, могут быть использованы для описания сжатия полуплоскости жесткой плитой.
2. Найдены новые двумерные поля скоростей деформаций идеальной пластической среды, которые совместно с решением Прандтля могут быть использованы для решения задачи о сжатии пластического слоя жесткими плитами.
3. Найдены высшие симметрии и законы сохранения уравнений, описывающих двумерное поле скоростей деформаций идеальной пластической среды.
4. Найдены симметрии второго порядка для системы уравнений, описывающих одномерный поток гранулированного материала.
Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений идеальной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах СибГАУ и ИВМ СО РАН и обсуждались на конференциях: Международной конференции, посвященной 105-летию со
для первого уравнения системы и

ддх дц ду ’ 5£, ду дг ду’
для второго уравнения системы (1.3).
дЕ, дц дг
Выразим —, —, —1 из систем (1.4) и (1.5).
дх ду дх ду
.. ,, .. дЕ, дЕ,
Умножим первое уравнение системы (1.4) на —, второе
ду дх
д_дхд5 ддцд
ду дЕ, дх ду 5р дх ду ’ 0 _ дх_д_&% + дх_Эр 5 дЕ, ду дх дц ду дх
Вычитая из первого уравнения этой системы второе, получим
дЕ, _ дх дц дЕ, дх дц 5с, _ дх ду дц дх ду дц ду дх дц
дх ду ду дх

,1 „ дц 5р
Умножим теперь первое уравнение системы (1.4) на —а второе
ду дх