Использование квазистатического подхода в динамике стержневых систем

• Автор: Синильщикова, Галина Александровна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 86 с. : ил.

Задачи динамики балок и балочных систем можно отнести к «классическим» задачам механики деформируемого твердого тела (МДТТ). К настоящему времени разработан целый ряд подходов к решению этих задач. Эти подходы можно условно отнести к одной из трех групп: точные методы (основанные, как правило, на разложении колебаний по собственным формам)
[1, 6, 34, 41-43], приближенные методы, использующие априорно задаваемые
1 '
формы колебаний, (например, основанные на предположении о подобии формы колебаний форме статического прогиба) [9, 41-42, 53, 57] и численные методы (методы конечных разностей и конечных элементов) [2, 46]. Тем не менее, эти задачи по-прежнему остаются актуальными. Сравнительная простота таких задач делает их идеальным полем для отработки новых, перспективных методов. После такой отработки эти методы могут быть применены для решения более сложных задач МДТТ, как это было с численными методами.
В данной работе для решения балочных задач используется квазистати-ческий подход. Здесь под квазистатическим подходом понимается рассмотрение реальных упругих систем, имеющих связи, например опоры, как свободных систем, на которые действуют реакции связей. При этом предполагается, что эти реакции уравновешиваются силами инерции системы (последние определяются в предположении, что тело является абсолютно твердым). Тогда деформации системы соответствуют состоянию квазистатического равновесия реакций и сил инерции. Величины реакций определяются таким образом, чтобы суммарные перемещения точек системы, вызванные ее движением, как абсолютно твердого тела и ее деформациями, удовлетворяли уравнениям связей.
Такой подход впервые был применен Герцем [10, 12, 52] при решении задачи о соударении шаров (данной задаче эквивалентна также задача соударения шара с твердой стенкой). Шары при ударе деформируются, в пятне контакта возникает сила соударения. Эта сила уравновешивается силами
инерции поступательного движения соударяющихся тел. При этом деформации считаются такими, какими они были бы в статике под действием силы соударения и сил инерции.
В работах С.А. Зегжды и В.Н. Вернигора [6, 19] квазистатический подход Герца был обобщен и применен к широкому кругу задач динамики упругих систем. В [11, 15-16, 39, 57] данный подход был применен к различным задачам динамики балок. В работах [16, 39] было предложено консольную балку рассматривать как свободный стержень под действием изгибающего момента и перерезывающей силы в заделке, которые должны быть такими, чтобы элемент балки, соответствующий заделке, оставался неподвижным. Таким образом, в рассмотрение вводятся две голономные связи. Свободный стержень может поступательно перемещаться, поворачиваться и изгибаться. И деформация стержня под действием сил инерции поступательного и вращательного движения считается квазистатической.
Данная работа является развитием этого направления. Ее особенностью является рассмотрение внутренних силовых факторов и реакций связей в качестве обобщенных лагранжевых координат. Такой подход позволяет представить балки с разными схемами закрепления в виде систем с конечным (24) числом степеней свободы. Для проверки корректности такой замены был решен ряд задач динамики собственных продольных и изгибных колебаний балок переменного сечения. Сравнение полученных результатов (первой частоты и формы - для продольных колебаний и первых двух частот и форм -для изгибных) с имеющимися аналитическими решениями показало высокую точность предлагаемого подхода (относительная погрешность определения первой частоты, как правило, не превосходит 1%).
Разработанный подход стал основой для решения задачи о динамике раскрытия трещины в тонком брусе. Задачи о развитии трещины под действием динамической нагрузки, являются актуальными и представляют большой научный и практический интерес. В настоящее время механика развития трещин является одной из самых актуальных и быстро развивающихся областей механики деформируемого твердого тела. Вместе с тем, в большинстве работ [20-21, 28-30, 32, 38, 40, 44-45, 47-51, 55-56] развитие трещины рассматривается как квазистатический процесс, который определяется, с одной стороны, накоплением повреждений в материале (работой сил разрушения), а с другой стороны - напряженно-деформированным состоянием (НДС) в окрестности вершины трещины. При решении динамических задач обычно учитывается нестационарность НДС, обусловленная изменением внешней нагрузки, а также - колебаниями рассматриваемой системы. При этом динамические эффекты, связанные собственно с раскрытием трещины, как правило, не учитываются или учитываются приближенно.
Специфической областью теории разрушения, является модель «балочного» приближения [7-8, 13-17, 26-27, 38-39, 49]. В этих работах рассматриваются задачи о развитии трещины в плоскости симметрии балки или пластины. В экспериментах для выполнения этого, несколько искусственного условия применялись специальные меры, например, использовались технологические надрезы, либо использовались кристаллы из анизотропных материалов. В этих условиях при больших (по сравнению с толщиной) длинах трещины каждый из образующихся берегов трещины можно рассматривать как балку-консоль, для которой вершина трещины играет роль заделки. В реальных случаях условие симметрии трещины не выполняется, однако решение задачи в такой упрощенной постановке является весьма важным и актуальным, поскольку оно позволяет исследовать общие закономерности динамики разрушения.
Впервые задача в такой постановке решалась Дж. Гилманом [8]. Он проводил как экспериментальные, так и теоретические исследования. Для раскрытия трещины в кристалле использовался клин, вводимый в трещину. При проведении расчетов форма прогиба консоли (берега трещины) считалась совпадающей с формой статического прогиба.
В [13] решается задача раскрытия трещины в брусе под действием сосредоточенных сил, приложенных к свободным краям берегов трещины
Итак, чтобы записать систему уравнений (3.20), выполним следующие выкладки (аргумент t у лагранжевых координат Ак, д), Ь для краткости опущен):

дТ , дАк
2Е^Л/ +L1LgkЗi-i'YJrkiЯl
/=1 /=1 1=1 у
V2
ГдТ л

дАк;

V
- ^Е Л/Л/+^Ё м- - г*/&

^ = р£/г
1=1 1=1 У

Еенл/ -^Е/А -ь^рЛ +—Еад
£ 1=1 у
гад л

дАк;

ал.
= рб/г
^Ё^Л+^Ём - £ ЕЛЛ+Ёадч/=>

1=1 У

/2у2
+^Е(^а/ - /«+ А)Л/+^Е(а, - %+л,)?,- - V Ее*Л + Еад
1=1 уу

ап„ £/ЛД . а „ аг = 7г Е^л/+Е%?1
к Ь /=1 /=1 У
ад, ,,
^ = рЪк дqi
ьТиаиЬ ~^Ё6уД-+*Ё*А-^ЁаА
V у=1 у=1 /=1 /=1 У

дТ„
дЧ;
У=1 У

=р«г дЕауД- -^ЕМу+ХЕ^/А -^Ед//Л/+

Л ( п
+ лЕ - ^Е ^?/ +/:Е Д//^/ -^Е А;Л/ = ^ЕауД' +
>1 у=1 /=1 /=1 у
Г »
V У='

+^Е^«Л/_^ Е^д+Ед/Л ЕауЁ-~ЕМ,у +Е^А
/=1 0=1 /=* у ЧУ*1
-1>А
/=1 уу