Задачи динамики и устойчивости оболочек вращения

• Автор: Черняев, Степан Петрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 78 с. : ил.

1 Введение
• Ф 1.1 Актуальность темы
1.2 Цель работы
1.3 Методы исследования
1.4 Результаты, выносимые на защиту
1.5 Практическая ценность
1.6 Апробация работы
1.7 Публикации
1.8 Структура и объем диссертации
1.9 Обзор литературы
2 Влияние осесимметричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении
2.1 Введение
2.2 Постановка задачи
2.3 Классификация форм потери устойчивости идеальной оболочки
2.4 Интегрирование уравнений устойчивости
2.5 Сравнение с численными результатами
3 Сравнение двух видов потери устойчивости оболочек вращения при
осевом сжатии
3.1 Введение
3.2 Осесимметричная потеря устойчивости
3.3 Бифуркация в неосесимметричное равновесие
3.4 Вывод системы уравнений устойчивости
3.5 Численное интегрирование
3.6 Результаты
4 Нелинейное деформирование тонких оболочек с учетом несовершенств
формы срединной поверхности
ф 4.1 Введение
4.2 Алгоритм решения
4.3 Круговая цилиндрическая оболочка при равномерном внешнем давлении
4.4 Оболочка вращения при комбинированном нагружении в особом случае
4.5 Заключение
5 Устойчивость оболочек с упругим заполнителем
5.1 Введение
5.2 Влияние краев на устойчивость пластины, лежащей на упругом основании
5.3 Аналитическое решение
н 5.4 Численное решение

6 Математическая модель колебаний колокола
6.1 Определяющие уравнения
6.2 Граничные условия
6.3 Метод прогонки
6.4 Алгоритм вычисления частот и форм собственных колебаний
7 Подбор геометрической формы колокола по заданному звучанию
7.1 Введение
7.2 Алгоритм расчета частот
7.3 Сравнение с экспериментом
7.4 Алгоритм подбора формы
7.5 Пример применения алгоритма
7.6 Обсуждение
1 Введение
1.1 Актуальность темы
Оболочечпые конструкции сочетают с себе легкость с высокой прочностью и поэтому находят широкое применение во многих отраслях промышленности, например в судо- и авиастроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении, офтальмологии. При проектировании тонкостенных оболочечпых конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость. Однако в большинстве случаев простой расчет на устойчивость дает значительно большие величины критических нагрузок, чем способна вынести конструкция на самом деле. Причины данного явления кроются в несовершенствах формы, материала или закрепления оболочки или самой нагрузки. В настоящее время расчет на устойчивость произвольной системы одним из численных методов не представляет принципиальных трудностей. Однако аналитические результаты дают качественное понимание вопроса и помогают корректно формулировать задачи при численном моделировании, а также контролировать результаты. С другой стороны, учет неправильностей при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции.
1.2 Цель работы
Оценка влияния несовершенств формы и наличия упругого заполнителя на устойчивость оболочек, сравнение разных видов потери устойчивости, построение модели свободных колебаний колокола на основе теории
топких оболочек, разработка алгоритма подбора частот колокола по заданному набору частот.
1.3 Методы исследования
Во всех главах настоящей работы используются те или иные асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины оболочки. Для проверки асимптотических результатов применяются различные численные методы, в том числе метод конечных элементов.
Во второй главе обобщены формулы Койтера, Амазиго, Будя иски и Товстика для оценки чувствительности критической нагрузки к несовершенствам формы. Использованы результы Григолюка, Кабанова и Ширшова, касающиеся локальной устойчивости оболочек.
Для решения задачи об устойчивости оболочек вращения вблизи края # использованы уравнения Валишвили, Товстика осесимметричной деформации оболочек вращения при больших поворотах нормали.
В четвертой главе, следуя Амазиго и Будянски, при исследовании чувствительности оболочек к циклическим неосесимметричным неправильностям рассматриваются неправильности, по форме совпадающие с формой потери устойчивости идеальной оболочки. Полученные результаты продолжают работы Лоренца, Тимошенко, Арбоша (АгЬосг), Бушнелла (ВивЬпеН), Тен га (Тегщ), Товстика.
Для решения задач устойчивости используется система уравнений Муш-тари—Доннела—Власова (во 2 и 4 главах).
При исследовании влияния краев па устойчивость оболочек использу-ется обобщение модели Винклера упругого основания, разработанное в книге Гулина, Ильгамова и Иванова.
Для построения математической модели колебания колоколов использованы фундаментальные результаты по динамике тонких упругих оболочек, представленные в работах Лява, Гольденвейзера, Лидского, Новожилова, Товстика, Поверуса, Нигула, Алумяэ, Срубщика, Болотина и Асланяна.
1.4 Результаты, выносимые на защиту
I • Получены асимптотические формулы, описывающие влияние осесимметричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении.

Подставляя (51) в (50) приближенно получаем критическую нагрузку в виде
Реально количество полуволн п формы потери устойчивости является целым числом таким, что пп/Ь близко к /г*. Соответствующая критическая нагрузка поэтому будет немного выше Р*. Для того, чтобы оценить влияние краев пластины на форму потери устойчивости и критическую нагрузку, обратимся к численным экспериментам.
5.4 Численное решение
Численное решение проведем по методу конечных элементов. Основание положим конечной глубины.
Возьмем пластину толщиной 1 см, шириной 1 м и неограниченной длины. Пусть заполнитель и пластина будут жестко скреплены. При выводе формулы (49) предполагалось, что упругое основание имеет бесконечную глубину. Поскольку перемещения точек заполнителя экпоненциально затухают при удалении от поверхности контакта (см. [87, 116]), то при численном моделировании можно задать конечную глубину. В нашем случае возьмем глубину равной 0.5 м (см. рис. 10). На такой глубине перемещения точек заполнителя, вызванные деформацией пластины, становятся пренебрежимо малыми. Будем считать, кроме того, что боковые границы заполнителя свободны, а нижняя жестко закреплена. Пусть это будет модель 1.
На рис. 11 изображены первые четыре формы потери устойчивости, то есть соответствующие четырем наинизшим бифуркационным нагрузкам, при очень мягком основании (Е/Ео = 2 • 10°). Первой форме потери устойчивости соответствует наименьшая нагрузка.
Как видно, формы потери устойчивости такие же, как для пластины без упругого основания. Погрешность в определении соответствующих нагрузок при помощи численного эксперимента не превышает здесь 2%, см. таблицу 3.
Пусть теперь основание жесткое, Е/Ео — 103 Па. На рис. 12 изображены первые четыре формы потери устойчивости для этого случая. Как видим, 2 первые формы локализуются вблизи краев пластины. Вследствие этого, критическая нагрузка сильно отличается от своего тсорети-
(52)