Задача о растяжении случайно неоднородного упругого цилиндра

• Автор: Архипов, Николай Витальевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 c. : ил

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ... Ю
§ I. Особенности статистических методов
§ 2. Определение статистических характеристик полей
механических величин
§ 3. Постановка задачи об определении статистических
характеристик полей перемещений, деформаций и напряжений для случайно неоднородного тела
ГЛАВА 2. ДЕФОРМИРОВАНИЕ МИКР0НЕ0ЛН0Р0ДН0Г0 ЦИЛИНДРА
§ 4. Постановка в перемещениях пространственной задачи
теории упругости для неоднородного тела
§ 5. Метод быстро осциллирующих функций
§ 6. Решение задачи о растяжении микронеоднородного
цилиндра при Л= Л(г, 2-); уи = уи(г,г)
§ 7. Метод быстрой осцилляции с использованием функции
напряжений Лява
ГЛАВА 3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСТЯЖЕНИИ
МИКРОНЕОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРА
§ 8. Общий характер зависимости дисперсий компонент
тензоров деформаций и напряжений от координат
§ 9. Сравнение статистических характеристик решения
рассмотренной задачи с аналогичными для полуплоскости и полупространства
вывода
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

Задача об определении напряженно-деформированного состояния упругого цилиндра является одной из распространенных и важных пространственных задач теории упругости. Разработка математических методов решения задач механики твердого деформируемого тела для областей цилиндрической формы привлекала и привлекает к себе множество исследователей. Из наиболее ранних работ, посвященных задачам об упругом однородном нилиндре, следует отметить работы Вангерина [бэ], Иериша[б4], Кри[_62], Л. Похгаммера [.67],
В. А. Стеклова [44, 45], I. Файлона 1бЗ]. В 30-х годах задачами об упругом равновесии цилиндра занимается Б. Г. Галеркин [із]. Большой вклад в разработку методов решения задач о цилиндре сделал в конце 40-х начале 50-х годов В. К. Прокопов [35, Зб] . В работе [35] им дано решение задачи о цилиндре, удовлетворяющее краевым условиям на боковой поверхности, и показано, что использование однородных решений позволяет полностью удовлетворить условиям на торцах для нормальных напряжений ; условия же для касательных напряжений 'Грг , однако, остаются невыполненными.
В книге А. И. Лурье [.28] отмечается, что "краевые задачи, которые здесь возникают, весьма сложны, и если не говорить о некоторых тривиальных случаях, то не известно ни одного решения, которое полностью и строго удовлетворяло бы всем краевым условиям и на боковой поверхности и на торцах цилиндра".
Эти слова относятся к 1955 году; однако, несмотря на прошедшие почти 30 лет, положение с получением точных решений для задач о цилиндре существенно не изменилось. Попрежнему такие решения для цилиндра, как и вообще "полезные частные решения пространственных задач, можно свободно пересчитать по пальцам". СИ. С. Сокольников [43]).

Во все годы выходит большое число работ, посвященных задачам для цилиндрических областей, но в кратком введении невозможно сделать сколько-нибудь обстоятельный разбор всех этих работ. Отметим еще книги А. А. Ильюшина, П. М. Огибалова [17] , М. А. Кол-тунова, Ю. Н. Васильева, В. А. Черных [18] , обзор работ по однородным решениям задач теории упругости и их приложениям В. К. Про-копова [37], статью Р. Литла и С. Чилдса [бб], а из работ последних лет - статьи С. М. Хзардаяна [б1, 52].
Все упомянутые выше работы посвящены задачам в классической постановке, когда материал деформируемого тела представляется в виде однородной сплошной среды. В последние два-три десятилетия решение задач механики твердого деформируемого тела все больше связывается с использованием усложненных моделей сплошных сред, основанных на более полном учете различных факторов, определяющих процессы деформирования реальных тел. Показано [16, зэ] , что параметров, определяющих в классических теориях состояние квази-однородной среды, уже недостаточно.
Например, для характеристики напряженного состояния такой среды недостаточно одного тензора напряжений; напряженное состояние характеризуется тензором напряжений и некоторой совокупностью дополнительных параметров. При статистическом подходе к исследованию напряженно-деформированного состояния структурированных сред такие параметры появляются наиболее естественно [26].
Вообще, появление и развитие статистических методов в механике твердого деформируемого тела объясняется требованиями более полного учета свойств реальных тел, наличием всегда некоторой неопределенности в знании условий нагружения и упругих характеристик конкретного тела, для которого решается задача, и необходимостью более точных расчетов, чем те, что обеспечиваются детерминированными методами. Обычно применяемые детерминированные ме-

Уравнения (6.13) и граничные условия (6.14) удовлетворяются этим решением точно.
/0"Но} / {мНо}
Очевидно, также не зависят от координат
V и 2 в предположении однородности деформации. Действительно, уравнения (6.27) имеют постоянные коэффициенты и постоянные правые части. Однако, следующие члены разложений для , У2Ш зависят от координаты Р , т.к. в правых частях уравнений
Л, X
(6.28), (6.29) имеются члены вида —р— и , стремящиеся
к бесконечности при приближении к оси цилиндра. Это - неприятное обстоятельство, но при решении задачи о деформации сплошного цилиндра от него, по-видимому, не избавиться. Поэтому для С'. кГ возьмем лишь нулевое приближение, т.е. только
по одному слагаемому в суммах (6.26), а членами со степенями

малого параметра единила и выше пренебрежем. Иначе говоря,
. 60 !/***« Т/М«) ,
формулы (6,30) для из уравнений (6.27) будем
считать формулами для ]/ьип> , У**0 , но при этом уравнения (6.23) для будут удовлетворяться с невязкой порядка £
Решение краевой задачи (6.24), (6.25) будем разыскивать
В ВИД8 2 ,
/1 / л/ /1 -т
/) i 1/^/"± 1 л 2 (6.33)
(где Г = 6б(£-г) , £ - радиус цилиндра). Будем рассматривать построение решения задачи (6.24), (6.25) в области Г4. Я вблизи боковой поверхности цилиндра Г = Я . Используя (6.33), для функций IV, И/ получим уравнения: