Динамика упругого слоя под действием нестационарных поверхностных нагрузок

• Автор: Кузнецова, Елена Львовна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Глава 1 Постановка задачи
§1.1 Уравнения плоского движения однородной изотропной упругой
среды
§ 1.2 Постановка задач для поверхностных функций влияния и их
классификация
§ 1.3 Решение уравнений с помощью преобразования Лапласа
Глава 2 Изображения поверхностных функций влияния для упруго
го слоя.
§2.1. Функции влияния 1а
§ 2.2. Функции влияния
§ 2.3. Функции влияния 1в
§ 2.4. Функции влияния Па
§2.5. Функции влияния Нб
§ 2.6. Функции влияния Ив
§ 2.7. Функции влияния Иг
§ 2.8. Предельный переход к акустической среде
Глава 3 Алгоритм определения оригиналов
§3.1. Метод совместного обращения преобразований Фурье и
Лапласа
§ 3.2. Оригиналы изображений, содержащих одну экспоненту
§3.3. Вычисление перемещения для полуплоскости
§ 3.4. Вычисление оригиналов изображений, содержащих произведение
экспонент
Глава 4 Оригиналы поверхностных функций влияния
§4.1. Акустический слой
§ 4.2. Упругая полуплоскость
§ 4.3. Упругий слой
Заключение
Список использованных источников

В настоящее время нестационарные задачи механики деформированного твердого тела приобретают все большее теоретическое и прикладное значение. Имеется большое количество как отечественных, так и зарубежных публикаций, посвященных этому разделу механики. Однако, как показывает сделанный аналитический обзор, большинство исследований посвящено решению статических и квазистатических задач. Это связано со значительными математическими сложностями, возникающими при исследовании нестационарных процессов. В связи с бурным развитием ЭВМ многие исследователи отдают предпочтение разработке и применению разнообразных численных методов к решению как статических, так и динамических задач. Среди них такие универсальные и хорошо разработанные методы, как методы конечных и граничных элементов, основанные на вариационных подходах, методы конченых разностей, безэлементные методы и др. Это, с одной стороны, оправдано в связи с потребностями промышленного производства, когда важно быстро рассчитать элемент или конструкцию в целом в условиях ограниченного времени, выделяемого на НИР и ОКР. С другой стороны, для получения адекватных результатов решения и контроля точности процесса моделирования применение универсальных численных методов должно быть непосредственно связано с исследованием вопросов точности, устойчивости и сходимости. На практике эти проблемы зачастую занимают гораздо большее количество как машинного, так и человеческого времени. Строгое доказательство сходимости того или иного метода при расчете сложной конструкции как правило сопряжено с практически непреодолимыми математическими сложностями. Поэтому на практике используется либо исследование практической сходимости, основанное на итерационном процессе, либо сравнение численных результатов с известными аналитическими решениями или с экспериментальными данными. В связи с этим, получение аналитических решений нестационарных задач механики приобретает актуальное и важное практическое значение.
С теоретической точки зрения аналитические решения задач позволяют выявить характерные особенности и качественные характеристики нестационарных процессов. Кроме того, получение фундаментальных решений для данной геометрической области дает возможность разработки эффективных численно-аналитических методов решения целого класса практически важных задач, с учетом выявленного в ходе аналитического исследования характера процесса.
К настоящему времени нестационарные волновые процессы наиболее полно исследованы для канонических областей: полупространство, цилиндр, сфера. Большое число работ посвящено построению так называемых поверхностных функций влияния, т.е. компонент напряженно-деформированного состояния среды при поверхностных нагрузках в виде дельта-функций Дирака. Знание этих функций позволяет представить в виде интеграла по времени и пространственным координатам решение задач с заданными граничными условиями несмешанного характера. Впервые подобную задачу для полупространства при заданном на его поверхности нормальном напряжении рассмотрел Н. Lamb [100].
Решение плоской задачи Лэмба приведено во многих работах. Как правило, для построения решения используются интегральные преобразования Лапласа по времени и Фурье по координате х вдоль границы. Различными являются методы построения оригиналов. В монографиях Л. И. Слепяна [61], Л. И. Слепяна и Ю. С. Яковлева [63] совместное обращение преобразований Лапласа и Фурье проведено с использованием однородности изображения и аналитического представления обобщенных функций. Л. И. Слепя-ном [61,62] оригиналы также найдены приближенно с помощью метода асимптотически эквивалентных функций, там же проведено асимптотическое исследование поведения решения в окрестности фронтов упругих волн. В монографиях В. Б. Поручикова [55], В. 3. Партона и П. И. Перлина [53] приведен метод вычисления оригиналов с помощью деформаций контура интегрирования в интегралах обращения (метод Каньяра Де Хупа). Аналогичные

Для таких изображений может быть использован алгоритм совместного обращения преобразований Лапласа и Фурье [61,55], согласно которому
/(х,71,г2,т)=Ит[/;(С,21,г2,х)-Л(С.г|,г2,т) . (3.5)
Здесь
А (С. ^’Т)=^ I (■т)е""7?^ (л > °)>
(3.6)
. со 4
/_ (С,г„г2,т) = |/^ (д,г,т)е_,кф (у < 0)

- сужения на верхней и нижней частях комплексной плоскости С, = х + (у построенного с помощью преобразования Фурье аналитического представления функции /(х,г,,г2,т):
/(С.2|,22,т) = -^-я(т-Ю0)*{/%[Х(;,71,22,т)]1(С,Г1,22,т)}
] (3.7)
= -—К[Ч^22^-^о)]Ч^г],г2,х-озй)н (т-ш°)
где звездочка обозначает свертку по времени т,£(т) = 5(т),Я(т) - функция Хевисайда, а Х(С,,г1,г2,т - со0) - неявно задаваемая уравнением
(о(Х,21,г2) — (о0+1'Х^=:т (3.8)
функция, однозначная ветвь которой выделяется с помощью условий при
^>0:
Г > 0 при у < 0,
Я& = п Л (3-9)
[< 0 при у > 0.
Тогда из (3.5) с учетом (3.7) окончательно получаем:
_ Уд 1^° 1-^"+ (Х,2> ,22 ~ ®0 У]^Ч (С’^1 ’г2 — ®0 )
-к0х_ (х, Гр 22,т-ш0 )]1_(С, 2х, 22,т-ю0)}я(т-со0),
А,±(х,2|,г2,т — ю0) = А.(^,Г|,г2,т — со0)