Двойственность и оценка качества решений в вариационных задачах теории упругости

• Автор: Саурин, Василий Васильевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 408 с. : ил.

Содержание

Введение
Глава 1. Основные понятия линейной теории упругости
1.1. Напряжения
1.2. Линейные деформации
1.3. Уравнения состояния
1.4. Краевые задачи
1.4.1. Формулировка задач статики
1.4.2. Динамические задачи
1.5. Упрощенные модели
1.5.1. Упругие стержни и струны
1.5.2. Модели балок
1.5.3. Мембраны
1.5.4. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния
1.6. Классические вариационные подходы
1.6.1. Энергетические соотношения
1.6.2. Прямые принципы
1.6.3. Дополнительные принципы
1.7. Вариационные принципы в динамике
1.8. Обобщенные вариационные принципы
1.8.1. Соответствия между вариационными принципами
1.8.2. Полу-обратный подход
1.9. Конечно-элементная дискретизация
1.9.1. Метод Ритца
1.9.2. Метод Галеркина
1.9.3. Метод конечных элементов

1.9.4. Метод граничных элементов
Глава 2. Метод интегро-дифференциальных соотношений
2.1. Основные идеи
2.1.1. Аналитические решения в линейной теории
2.1.2. Интегральная формулировка закона Гука
2.2. Семейство квадратичных функционалов
2.3. Метод Ритца в МИДС
2.3.1. Алгоритм полиномиальных аппроксимаций
2.3.2. Двумерная защемленная пластина - статический случай
2.4. Двумерные задачи о свободных колебаниях
2.4.1. Формулировка краевой задачи
2.4.2. Собственные колебания круглых и эллиптических мембран
2.5. Вариационные принципы для квадратичных функционалов
2.6. Связь с классическими вариационными принципами
2.7. Двусторонние энергетические оценки
2.8. Тело на упругом основании
2.8.1. Вариационный принцип для функционала энергетической ошибки
2.8.2. Двусторонние оценки в задачах с Винклеровским основанием . .
Глава 3. Метод конечных элементов на основе итегро-дифференциального подхода
3.1. Кусочно полиномиальные аппроксимации
3.1.1. Двумерные С0 полиномиальные сплайны
3.2. Гладкие полиномиальные сплайны
3.2.1. Треугольник Аргириса
3.2.2. Матрица жесткости для треугольника Аргириса
3.2.3. С2-аппроксимации для треугольного элемента
3.3. Конечно-элементная техника в задачах линейной упругости
3.3.1. Алгоритм МКЭ

3.4. Уточнение и адаптация сетки
Глава 4. Вариационный, асимптотический и проекционный подходы на основе полу-дискретных аппроксимаций
4.1. Сведение задачи в частных производных к системе ОДУ
4.2. Анализ напряженно-деформированного состояния балки
4.3. Двумерные колебания упругой балки
4.4. Асимптотический подход
4.4.1. Классический вариационный подход
4.4.2. Интегро-дифференциальный подход
4.4.3. Основные идеи асимптотического подхода
4.4.4. Уравнения балки - общий случай нагружения
4.5. Колебания упругой балки
4.5.1. Формулировка задачи на собственные значения
4.5.2. Продольные колебания балки
4.5.3. Поперечные колебания балки
4.6. Трехмерные задачи статики
4.7. Проекционная формулировка задач линейной упругости
4.8. Проекции, вариации и асимптотики
Глава 5. Моделирование трехмерных задач статики и динамики
5.1. Проекционные алгоритмы
5.2. Консольная балка с треугольным сечением
5.3. Проекционная модель балки
5.4. Интегральные характеристики балки с треугольном поперечным сечением
5.5. Интегральные проекции в задаче на собственные значения
5.6. Естественные колебания балки с треугольным поперечным сечением
5.7. Вынужденные колебания балки с треугольным сечением

мент недеформированной среды (dS — dXь dX2 = dXz = 0) переходит при деформации в элемент dl = dx с тремя нетривиальными компонентами dxz, г = 1,2,3. Тогда относительная деформация определяется как отношение длин
Ег = (dl- dS)/dS. (1.40)
При этом, в соответствии с описанием Лагранжа, относительная деформация определяется соответствии с первоначальной длиной. Соответственно, dl = (1 + E)dS и уравнение (1.30) могут быть сведены к форме
(dl)2 - (dLf = 2Ец (dXi)2 = (2Ei + E) (dXf . (1.41)
Из этого следует, что
Е — /l + 2Ец —
Аналогичные соотношения могут быть получены и для других направлений. Таким образом, компоненты Етп при т = п явно связаны с деформацией растяжения линейных элементов. Таким же образом можно показать, что компоненты Етп со смешанными индексами, т ф п, характеризуют изменение относительных углов в среде. Подобный анализ может быть также проведен для тензора деформации Эйлера.
В дальнейшем ограничимся случаем малых смещений и деформаций и будем считать, что все частные производные от перемещений значительно меньше единицы. Квадратичные члены учитываются в геометрически нелинейной теории упругости (см., например, [15], [73], [74], [130]). Тогда, тензоры