Гранично-элементное моделирование динамики составных вязкоупругих тел на основе модифицированных методов квадратур сверток и дурбина

• Автор: Белов, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 180 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Г лава I. Математические модели и методы решения
1.1. Математическая модель
1.1.1. Постановка упругодинамической краевой задачи
1.1.2. Определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости
1.2. Фундаментальные и сингулярные решения изотропной теории упругости и вязкоупругости
1.3. Граничные интегральные уравнения
1.3.1. Обобщенная формула Сомильяны и гранично-временное интегральное уравнение изотропной теории упругости
1.3.2. Построение ГИУ для решения задач о колебаниях кусочно-однородных тел
1.3.3. Граничные интегральные уравнения вязкоупругости
1.4. Численное обращение преобразования Лапласа
1.4.1. Интегрирование быстро осциллирующих функций
1.4.2. Обращение преобразования Лапласа методом Дурбина
1.4.2.1. Алгоритм метода Дурбина с аппроксимацией трансформанты
1.4.2.2. Комбинированные формулы метода Дурбина
1.4.3. Численное обращение преобразования Лапласа на основе метода Дурбина
1.5. Метод квадратур сверток
1.5.1. Традиционный метод квадратур сверток
1.5.2. Модификации метода квадратур сверток
1.6. Численные результаты на основе метода квадратур сверток
Глава II. Методика гранично-элементного моделирования
2.1. Гранично-элементная дискретизация
2.1.1. МГЭ-схема для однородных тел
2.1.2. МГЭ-схема для кусочно-однородных задач в изображениях
2.1.3. Разрешающая система алгебраических уравнений и поэлементное интегрирование
2.1.4. Учет симметрии задачи
2.2. Построение дискретных аналогов на основе квадратур сверток

2.3. Визуализация гранично-элементного моделирования
2.3.1. Описание формата входных данных
2.3.2. Пользовательский интерфейс
2.3.3. Панели инструментов
2.3.4. Работа мышью
2.4. Программная реализация
2.5. Тестовые задачи
2.5.1. Задача о сферической полости
2.5.2. Задача о действии скачка давления на торец составного призматического тела
2.5.2.1. Численное ГЭ-моделирование на основе метода Дурбина
2.5.2.2. Численное ГЭ-моделирование на основе метода квадратур
сверток
2.5.2.3. Численное ГЭ-исследование кривых деформаций
2.5.2.4. Сравнение методов квадратур сверток и Дурбина
Г лава III. Решение прикладных задач
3.1. Задача о действии вертикальной силы на поверхность упругого полупространства
3.2. Задача о действии вертикальной силы на поверхность вязкоупругого полупространства
3.3. Задача о действии вертикальной силы на поверхность полупространства с полостью
3.4. Задача о действии давления внутри сферической полости, расположенной в упругом полупространстве
3.5. Задача о действии давления внутри кубической полости, расположенной в упругом полупространстве
3.6. Задача о штампе на полупространстве
3.7. Задача о реакции защитного корпуса атомной станции теплоснабжения на действие ударной силы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Неразрушающий контроль, диагностика и расчеты на прочность технических объектов; сейсморазведка; мониторинг приповерхностных зон земной среды и т.д. требуют разработки эффективных средств, методов и моделей. В связи с этим возникает задача разработки математических методов и применение их в исследованиях по распространению волн в неоднородных телах из вязкоупругих материалов при вибрационных, ударных нагружениях.
Метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) и метод граничных элементов (МГЭ) являются универсальным численно-аналитическим подходом к решению трехмерных волновых начально-краевых задач теории вязкоупругости. В некоторых случаях (бесконечные и полубесконечные тела и среды) метод ГИУ и МГЭ являются наиболее предпочтительным универсальным подходом к исследованию волн. К настоящему времени сформировались два основных направления развития метода ГИУ и МГЭ для исследования волновых задач: использование интегрального преобразования и построение шаговых процедур. Численные схемы МГЭ на основе интегральных преобразований обладают ограничением на тип решаемых задач (только когда справедлив принцип соответствия). Точность таких схем существенно зависит от параметров метода численного обращения интегрального преобразования. Считается, что для МГЭ наиболее предпочтителен метод Дурбина. Численные схемы МГЭ, опирающиеся на шаговые процедуры (интерполирование по времени), существенно зависят от выбора шага и применимы только к тем задачам, для которых возможно построение тензора Грина. Так как для волновых задач вязкоупругости тензор Грина во времени в общем случае не существует, то такие численные схемы не эффективны. Однако, возможно построение шаговых схем МГЭ на основе сочетания обоих подходов. Таким сочетанием обладает метод квадратур сверток ориентированный на гранично-временные ииз’егральные уравнения вязкоупругости.
Для рассмотрения задачи о распространении волны, необходимы динамические формулировки исходной системы дифференциальных уравнений и соответствующие ей ГИУ. Использование ГИУ в задачах о исследовании волн начинается с работ В. Вольтерра и Ж. Адамара [1], а в динамической теории упругости с работ Ч.Х. Мюнца [135]. Исследование волновых потенциалов начинается с работ С.Г. Михлина и В.Д. Сапожниковой [80]. Построение соответствующих обобщенных потенциалов теории упругости началось с работ A.Y. De Hoop [108], В. Новацкого [82] и др. Существенный результат по исследованию волновых и обобщенных потенциалов теории упругости можно найти у В.Д. Купрадзе с соавторами [88], Т.В. Бурчуладзе и Т.Г. Гегелиа [45], И.Ю.

где Р0 = Яе[/(а + /ю,)], „+1 = Яе[/(а + /юп+1)] и к = 2, 3,..п.
Коэффициенты определяются равенствами:
ЗД,7, +Д,У2 = 8(С7, -С0),
ДМП-, +3(Д* +ДМ)П + ДкУм = 8(С* - О*.,), ЗД„У„+,+Д„7„=8(е„+1-0„),
где О0 =1ш[Лог+ /<»,)]. °п+1 = МД« + Ч,+.)]-
Из (1.30) и (1.31), получаем итоговые формулы численного метода:

+(Д+,-Д)

7 г, (О + 4 г, (0 - Е 7ГГ-[(Н - 2*)(зт ®*+/ -я« ®*0
4 Г *=1 / ДД,
+ <Х+, - ХсОБ й>* Д - СОЭ <Ц,
')] }
(1.32)
(1.33)
где g2(t) = -г, + г1М соъаД - Л
2,(0
Д,+|(г„+зд,.)д„
ып «„Д + 1(У2 + 3)Д, - б, +
Д+|(Г„+ЗЛ,)Д„
Ошибка формул (1.32), (1.33) имеет порядок 0(Д4тах).
1.4.2.2. Комбинированные формулы метода Дурбина [29]
Классический метод Дурбина использует при интегрировании по формуле трапеций постоянный шаг, однако можно воспользоваться методом трапеций с переменным шагом.
Модификация метода Дурбина на основе формул трапеций с переменным шагом для всей подынтегральной функции
Базовая формула метода Дурбина на основе метода трапеций с переменным шагом для всей подынтегральной функции выглядит следующим образом:
д0) = у) (/(« + Ч) + Да + / сом)) и 2л * ’
/(')>
(Да + щ )е"щ + Да + т„Де"щ")
Как описывалось раньше, при интегрировании возникают интегралы от сильно осциллирующих функций, их можно считать по комбинированной формуле.
Модификация на основе формул интегрирования сильно осциллирующих функций с линейной аппроксимацией функции /(а + /®)