Вариационные методы в теории трещин с ограничениями

• Автор: Ковтуненко, Виктор Анатольевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 371 с. : ил.

Глава 1. Вариационные методы в задачах о трещине
1.1. Основные понятия и определения
1.1.1. Область с трещиной и гладкость ее границы
1.1.2. Функциональные пространства следов на трещине
1.1.3. Обобщенная формула Грина для оператора линейной теории упругости в
области с трещиной
1.1.4. Теоремы существования решений задач минимизации с ограничениями
1.2. Задачи о трещине с односторонними ограничениями непроникания и трения
1.2.1. Свойства функционала потенциальной энергии в линейной теории
упругости
1.2.2. Трещина с условием непроникания
1.2.3. Трещина с условиями непроникания и заданного трения
1.2.4. Трещина с условиями непроникания и трения Кулона
1.3. Асимптотические представления для плоской изотропной модели
1.3.1. Локальная гладкость решения задачи о трещине
1.3.2. Вариация трещины
1.3.3. Сингулярные решения задачи о трещине
1.3.4. Критерий разрушения Гриффитса
1.4. Невыпуклая задача о трещине с условиями непроникания и сцепления
1.4.1. Задача невыпуклой минимизации с ограничением
1.4.1.1. Формулировка и корректность задачи
1.4.1.2. Условия оптимальности задачи
1.4.2. Задача возмущения трещины
1.4.2.1. Возмущенная задача о трещине
1.4.2.2. Дифференцируемость по форме функции энергии
1.4.3. Развитие прямолинейной трещины при условии сцепления берегов

1.5. Оптимизационная постановка эволюционной задачи о квазихрупком разрушении
1.5.1. Эволюционная задача о развитии трещины
1.5.2. Статическая задача для фиксированной трещины
1.5.2.1. Необходимые краевые условия
1.5.2.2. Дополнительная гладкость решения на трещине
1.5.2.3. Гладкость решения эволюционной задачи
1.5.3. Развитие трещины вдоль заданного криволинейного пути
1.5.3.1. Постановка однопараметрической задачи оптимизации и ее разрешимость
1.5.3.2. Случай прямолинейного пути
1.5.4. К выбору пути развития трещины
Глава 2. Методы регулярных возмущений и анализ чувствительности формы трещин
2.1. Метод регулярных возмущений в антиплоской задаче
2.1.1. Линейное возмущение области с трещиной
2.1.1.1. Глобальное асимптотическое разложение решения
2.1.1.2. Локальное асимптотическое разложение решения
2.1.1.3. Асимптотическое разложение результирующего функционала
2.1.1.4. Общий вид инвариантного интеграла
2.1.2. Рост прямолинейной трещины
2.1.2.1. Возмущение локального сдвига вдоль трещины
2.1.2.2. Асимптотика коэффициента интенсивности напряжений
2.1.2.3. Возмущение локального растяжения
2.1.2.4. Ветвящаяся трещина
2.1.3. Идентификация трещины в теле
2.1.3.1. Инвариантные интегралы
2.1.3.2. Задача оптимального расположения трещины
2.2. Регулярные возмущения трещин в плоской задаче
2.2.1. Линейное возмущение сдвига прямолинейной трещины
2.2.1.1. Материальные производные решения
2.2.1.2. Производные функции энергии
2.2.1.3. Коэффициенты интенсивности напряжений
2.2.1.4. Локально оптимальные трещины
2.2.2. Нелинейное возмущение криволинейной трещины
2.2.2.1. Возмущение сдвига для криволинейной трещины
2.2.2.2. Скорость притока энергии
2.2.3. Анализ чувствительности формы криволинейной трещины
2.2.3.1. Вариация формы трещины
2.2.3.2. Параметрическая оптимизация формы трещины
2.3. Возмущение трещин в пространственной задаче
2.3.1. Анализ чувствительности фронта плоской трещины
2.3.1.1. Линейная вариация фронта плоской трещины
2.3.1.2. Параметрическая оптимизация фронта трещины 19
2.3.2. Нелинейное возмущение фронта трещины на поверхности стыка составного
тела
2.4. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов
2.4.1. Общее возмущение области с трещиной
2.4.1.1. Постановка нелинейной задачи
2.4.1.2. Постановка возмущенной задачи
2.4.1.3. Асимптотика решения
2.4.1.4. Асимптотика потенциальной энергии
2.4.2. Инвариантные интегралы энергии
2.4.2.1. Общий вид инвариантного интеграла
2.4.2.2. Возмущение всей трещины
2.4.2.3. Возмущение края трещины
2.4.2.4. Возмущение вершины трещины
Глава 3. Оптимизация формы и рост трещин
3.1. Рост трещины по критерию Гриффитса
3.1.1. Квазистатический рост трещины в антиплоской задаче
3.1.1.1. Формулировка антиплоской задачи с растущей трещиной
3.1.1.2. Конечно-элементная аппроксимация в области с трещиной
3.1.1.3. Локальный квазистатический рост трещины моды-ТТТ
3.1.1.4. Глобальный квазистатический рост трещины моды-III
1.2. ЗАДАЧИ О ТРЕЩИНЕ С ОДНОСТОРОННИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Применяя неравенства Гельдера и Кориа, можно оценить
(1.2.41) х ||| [«4Ц - |[и?]|||я1/2оо(Гс) ^ -^2)11н1/2(Гс),
х (|||1«г]|11„1/2(Гс) + !1|1ит]|11н1/2(Гс))-
Непрерывность операторов следа на трещине, определенных в Теореме 1.1.2 и Теореме 1.1.3, подразумевает следующие оценки норм:
(1.2.42а) |||Ы|||н1/2(Гс) < с|М|я(пс),
(1.2.42Ь)
Далее можем применить Теорему 1.2.2 для решений и1, и2 £ КП Дд-ДПсО задач с заданным трением К = —ТР1 и Р = —ТЕ2 соответственно. Используя уравнения равновесия (1.2.28Ь), имеем —ац^{иг — и2) = Д — Д = 0, г = 1,... ,Ы, в О-с- Поэтому из определения нормы в ЯщДПс) следует, что для V = и1 — и2 оценка (1.2.42Ь) принимает вид
(1.2.43) |Ыи1 - ■и2)||я1/2(Гс). < сЦм1 - и2||я(ад.
Таким образом, используя (1.2.40), (1.2.42а) и (1.2.43), из (1.2.41) выводим окончательную оценку
(1.2.44) |Ыи* - и2)\н1,2(Тсу < сфЕ{Е^-Е2)\ну2{ГсГ
Неравенство (1.2.44) дает только Гельдер-непрерывность отображения Т : С*_ н-» С*, которой недостаточно для факта существования неподвижной точки. В дальнейшем используем дополнительную локальную гладкость решения, чтобы получить слабую непрерывность Т.
Во-первых, пусть
(1.2.45) сЦз^вирр-Тд дГс;} = <5о > 0.
В силу (1.2.45) можно выбрать открытое компактное множество IV в Гс, такое что ьирр^" С Г> и IV С ТсВо-вторых, пусть трещина Г с представляется в локальных координатах (у, 2/1у)Т графиком ум = в(у) функции в £ С2'1(В(0)), 0(0) = Ув(0) = 0 для у = (щ улг—т)т €