О движении твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью, и упругого шара в гравитационном поле

• Автор: Баранова, Елена Юрьевна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Эволюция движения твердого тела с неподвижной точкой и сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью
1.1 Постановка задачи и уравнения движения
1.2 Решение задачи для тела, близкого к шару
1.3 Решение задачи для тела, близкого к осесимметричному
1.4 Общие результаты, полученные при решении задач о движении
твердого тела со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью
2 Эволюция движения твердого тела с неподвижной точкой и эллипсоидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью
2.1 Постановка задачи
2.2 Решение задачи для эллипсоидальной полости
3 Вращение упругого шара вокруг центра масс в гравитационном ноле двух притягивающих центров
3.1 Постановка задачи и уравнения движения
3.2 Решение задачи для деформируемого шара без учета влияния Луны и Солнца
3.3 Влияние возмущений от Лупы и Солнца
3.4 Применение полученных данных па примере планеты Земля
Заключение
Литература

Введение
Механика как наука начала развиваться еще в древние времена [109]. Основными вопросами, которыми она занимается, — это законы движения и равновесия материальных тел. Соответствуя своему времени, задачи усложнялись и менялись. Так от задач, просто связанных с твердыми телами, перешли к задачам о движении твердых тел в жидкой среде. Рядом с этими задачами появились вопросы о твердых телах, содержащих полости с жидкостью внутри.
Первым обратил внимание на задачи о твердых телах с полостью, полностью заполненной жидкостью, Джордж Габриель Стокс [135], [130] еще в середине XIX века, рассмотрев два случая полостей: прямоугольный нараллелипипед и цилиндр с круговым сектором в качестве основания. Для малых скоростей частиц жидкости он доказал, что движение твердого тела не изменится, если жидкость заменить эквивалетным твердым телом.
Волее общая постановка задачи появилась у Карла Готфрида Неймана. Он рассматривал односвязные и многосвязные полости внутри тела. К.Г. Нейман показал, что при нескольких полостях в нокоющемся твердом теле, начальное движение, сообщенное жидкости, оказывает на движение тела гироскопический эффект.
Но первым, кто детально исследовал движение твердого тела с полостями, полностью заполненными однородной несжимаемой жидкостью, был Николай Егорович Жуковский. В своей работе [39] он изучил влияние жидкости на движение твердого тела. Очень много внимания он уделил задачам с идеальной жидкостью. Он показал, что если скорости частиц жидкости выражаются в виде потенциальных функций, то внутрснес движение жидкости определяется вращением тела и ие зависит от поступательного движения. Движение самого тела происходит, как если бы вместо жидкости было эквивалентное твердое тело, масса и центр тяжести которого совпадают с массой и центром тяжести жидкости. Н.Е. Жуковский доказал, что момент инерции эквивалентного тела относительно любой оси, проходящей через его центр тяжести меньше момсн-

та инерции соответствующей жидкости относительно той же оси. Однако, если тело имеет многосвязные полости, при замене жидкости на эквивалентное тело необходимо добавить к телу некоторый гироскоп, его ось и момент начального количества движения можно определить но главному моменту количества движения жидкости в покоющсмся теле. Таким образом; решение задачи динамики тела с жидкостью разделяется на две части: первая - это решение трех краевых задач, связанных с формой полости, и расчет присоединенных масс; вторая - задача динамики твердого тела, сводящаяся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Его работа содержит определение эллипсоидов инерции эквивалентных тел для различных форм полостей: эллиптических, цилиндрических полостей и тел вращения. Для жидкости с трением описан общий способ нахождения движения тела с жидкостью, а также решена задача о движении замкнутой трубки, наполненной жидкостью.
Многие исследования были связаны с устойчивостью движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. У.Т. Кельвин проводил опыты, которые показали, что если полость с жидкостью сжата в направлении оси вращения, то вращение волчка будет устойчивым, а если сжата вдоль перпендикулярной оси, то неустойчивым. Теоретическое обоснование этого изучалось в работах Грин-хилла, Хафа [129], Пуанкаре [132] и других. Эти ученые рассматривали полость эллипсоидальной формы, заполненную идеальной жидкостью. Предполагалось, что жидкость совершает однородные вихревые движения. В работе Хафа [129] представлено и решено характеристическое уравнение для малых колебаний твердого тела с полостью, содержащей жидкость, вблизи равномерного вращения. В работе Пуанкаре [ 132| была учтена неоднородность жидкости.
Особенно большой интерес к таким задач появился в середине XX века. Это связано с развитием авиационной и ракетной техники. Прикладные задачи, связанные с горючим внутри ракеты, космическими аппаратами, стартующими с искусственных спутников, а также задачи, связанные с сейсмостойкостью резервуаров для хранения жидкости, послужили толчком к исследованиям в этой области. Также аналогичные задачи появляются при конструировании кораблей, подводных лодок, в теории флаттера крыла самолета и г.д.
С.Л. Соболев рассмотрел движение тяжелого симметричного волчка с полостью, наполненной идеальной жидкостью [106). Полость предполагалась симметричной относительно твердого тела, решались линеаризованные уравнения около равномерного вращения. Автор рассмотрел и сравнил два частных случая: эллипсоидальную и цилиндрическую полость, изучив колебния жидкости

ции движения, даст такой же результат, как и в случае сферической полости. В остальных случаях решение зашшеит от геометрических особенностей полости, однако, при сильно вытянутом или сильно сплющенном твердом теле они не сказываются и так же ось наибольшего момента твердого тела стремится совпасть с вектором момента количества движения.
2.1 Постановка задачи
Рассматривается движение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, с тензором инерции J = diag{-~С}, где — малый параметр. Заметим, что данная модель включает в себя случай тензора инерции с разными отклонениями от осесимметричного тела. Если тело имеет тензор инерции J = diag{С}, то заменой А = Л'/(1 + ^) он сводится к вышеуказанному, где Е =
Точка О берется за начало неподвижной системы координат Внут-
ри тела находится полость, полностью заполненная вязкой жидкостью. Полость представляет собой эллипсоид с центром в точке 0 (рис. 2.1). Система движется по инерции, т.е. внешние силы отсутствуют. Нужно определить эволюцию движения системы.
Пусть OxlX2J'3 — система координат, жестко связанная с твердым телом. Оси От і, Ох2, Ох з — главные оси инерции тела с жидкостью. Геометрическое место точек полости в канонической системе координат:
V — + 0‘2-х'2 + &зХ'і 5: I}- (2-1.1)
все а, > U, і = 1,2.3.
Зллшісои;і; рассматривается близкий к сфере, т.е. ^ 1, і ф j.
В подвижной системе координат центр ПОЛОСТИ О] определяется вектором Г], а частица жидкости соответствующим вектором г. Будем рассматривать жидкость с помощью векторов г' = г—гь обозначающих радиус-вектора частиц жидкости, исходящие из центра полости. Поле V = v(r', t.) определяет иоле относительных скоростей частиц жидкости в зависимости от их радиус-вектора г' и времени t. Жидкость предполагается однородной и несжимаемой:
р = const, divv = 0.
Вязкость жидкости будет считаться достаточно большой, тогда число Рей-