Некоторые задачи КАМ-теории для систем Гамильтона с собственным вырождением частот

• Автор: Медведев, Антон Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 124 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Сохранение гиперболических торов в системах Гамильтона
1.1 Гиперболический тор
1.2 Доказательство теоремы
2 Гиперболические торы в системах Гамильтона с медленно меняющимся параметром
2.1 Постановка задачи
2.2 Начальные преобразования координат
2.3 Дополнительные преобразования координат
2.4 Вспомогательные утверждения к проведению
КАМ-преобразований
2.5 Построение КАМ-процедуры
2.6 Доказательство сходимости КАМ-процедуры
2.7 Пример: геодезический поток на торе
3 Лагранжевы торы в малой окрестности резонанса кратности один систем Гамильтона близких к интегрируемым
3.1 Торы в окрестности поверхности резонанса кратности один

3.2 Введение системы координат, удобной для проведения КАМ-
процедуры
3.3 Начальный гамильтониан
3.4 Гамильтониан Нт
3.5 Шаг КАМ-процедуры
3.6 Дополнительное преобразование координат
3.7 Последовательности <тт, 5т, $т, Ьт, Л/щ, Лт
3.7.1 Неравенство (4.7)
3.7.2 Неравенства (4.8),(4.9),(4.10)
3.7.3 Неравенства (5.6),(5.7)
3.7.4 Неравенства (6.3),(6.6),(6.7)
3.8 Доказательства
3.8.1 Доказательство предложения 3.4.
3.8.2 Доказательство предложения 3.5.
3.8.3 Доказательство предложения 3.5.
3.8.4 Доказательство предложения 3.6.
3.8.5 Доказательство предложения 3.7.
3.8.6..........................Доказательство предложения 3.8.
3.8.7 Доказательство предложения 3.8.
3.9 Вспомогательные леммы
3.9.1 Лемма о 77-проекции
3.9.2 Лемма о введении переменных дейстие-угол
3.9.3 Лемма о неявной функции
Заключение

Введение
Классические KAM-теоремы
Рассмотрим функцию Гамильтона Н(р, q), определенную на 2п-мерном многообразии М (считаем функцию и многообразие гладкими). Предположим, что система Гамильтона имеет п первых интегралов F — Н,Fn. Теорема Лиубилля-Арнольда [3] утверждает, что если:
• скобка Пуассона любых двух интегралов равна нулю {Fj,Fj} = О (т. е. п первых интегралов находятся в инволюции),
• функции Fi независимы на множестве уровня М/ : {(p,q) Е М : Fi(p>q) — /;, * == Г (т. е. п 1-форм dFz линейно независимы в каждой точке М/).
Тогда:
1. Mf - гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона Н = F.
2. Если многообразие Mj компактно и связно, то оно диффеоморфно n-мерному тору Тп = <£>n)(modd 27г)}.
3. Фазовый поток с функцией Гамильтона Н определяет на Му условнопериодическое движение, т. е. в угловых координатах ip — (pi,рп)
Рис. 2.1: Цилиндр N Для наглядности можно представить себе цилиндр N = и 1*, С М х Т,
состоящий из двумерных торов (см. рис. 2.1). Энергия меняется вдоль образующей цилиндра.
Определение 2.1.2 Пусть і'(/і, т) — частота, соответствующая орбите Т^г. Величину (м)(/г) = ~ ^ и{б,т) дт будем называть средней частотой для тора Т^.
Определение 2.1.3 Пусть є Є (0,Єо) — малый параметр, и Є М. Вектор частот (и, є) называется диофантовым, если
|м/і + є^І > 7Т7ТТТГЇЇ2’ УіїЛєг.ІііІ + М^О. (1-3) (Ці І + Ы)
Лемма 2.1.1 (см. [5]) Мера множества чисел V, не удовлетворяющих системе неравенств 1.3, не превосходит Ює.