Об устойчивости неустановившихся движений механических систем

• Автор: Бойкова, Татьяна Александровна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 96 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Об исследовании устойчивости движений
неавтономных механических систем
1. Основные определения, предположения и утверждения метода предельных уравнений
2. Об исследовании устойчивости неустановившихся движений на основе знакопостоянных функций Ляпунова .
3. Об устойчивости неустановившихся движений системы, имеющей первые интегралы
Глава 2. Об устойчивости и стабилизации неустановившегося
движения механической системы
1. Об устойчивости положения относительного равновесия механической системы с голономными нестационарными связями
2. О стабилизации программного движения голономной механической системы
3. Об устойчивости нестационарных движений центрифуги . . 51 Глава 3. Об устойчивости обобщенных стационарных
движений механических систем
1. Об исследовании устойчивости обобщенного стационарного движения голономной механической системы на основе знакопостоянной функции Ляпунова
2. Об устойчивости обобщенных стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе
3. Об устойчивости обобщенного стационарного движения маятника Шулера
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Основы теории устойчивости движения были разработаны великим русским ученым Александром Михайловичем Ляпуновым в конце XIX века. В настоящее время теория устойчивости по Ляпунову является общепризнанной, находит широкое применение в ряде областей науки и техники, и продолжает интенсивно разрабатываться.
Второй метод Ляпунова заключается в выявлении условий устойчивости невозмущенного движения на основе построения специальных функций, называемых функциями Ляпунова. Постановка новых задач об устойчивости и стабилизации движений различных систем и процессов (в том числе, механических) отсутствие универсального способа построения этих функций, удовлетворяющих условиям тех или иных общих теорем об устойчивости (например, теоремам Ляпунова) приводит к необходимости модификации и обобщения известных ранее таких теорем.
Эта область исследования была объектом изучения многих выдающихся ученых. Н.Г. Четаев показал эффективное использование доказанной им теоремы о неустойчивости в задаче об условиях неустойчивости положения равновесия голономной механической системы [114-116]. Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости [16] и теорема Красовского о неустойчивости [54] имеют широкое применение как в исследовании устойчивости движений механических систем, так и в исследовании устойчивости различных физических и биологических процессов. Теорема В.В. Румянцева об устойчивости движения относительно части переменных [91] послужила основой большого нового раздела теории устойчивости, имеющего важное прикладное значение [2, 96-99]. Эффективным методом исследования ряда задач об устойчивости явился метод векторных функций Ляпунова, в основе которого лежат работы

В.М. Матросова [72, 73]. Подробное изложение результатов этих и других исследований можно найти в целом ряде обзоров [2,45,82,96,98], сборников [34,35] и монографий [14,15,27,28,36,37,54,59,64,67,75,100].
В последнее время целью ряда работ является развитие второго метода Ляпунова в направлении использования в задачах устойчивости знакопостоянных функций Ляпунова. Этому направлению посвящены работы А.И. Самойленко [101], Н.Г. Булгакова [25], И.В. Гайшуна [29],
A.C. Андреева [4,5,7,8] и других ученых.
Целью настоящей работы является:
1. Разработка новых методов решения задач об устойчивости движений неавтономных механических систем на основе модификации и обобщения некоторых теорем прямого метода Ляпунова, в направлении использования знакопостоянных функций Ляпунова.
2. Исследование задач об устойчивости положения равновесия и обобщенного стационарного движения неавтономных механических систем.
3. Решение на основе полученных методов исследования устойчивости некоторых задач прикладного характера.
В первой главе получены новые методы исследования устойчивости нулевого решения неавтономной системы дифференциальных уравнений на основе знакопостоянных функций Ляпунова и рассмотрено их применение в исследовании устойчивости невозмущенного движения систем, имеющих первые интегралы.
Первые результаты по применению знакопостоянных функций Ляпунова были получены в работе А.М. Самойленко [101]. В их основе лежит использование свойства инвариантности положительного предельного множества решения автономной системы. Дальнейшее продолжение это направление получило в работах Н.Г. Булгакова и Б.С. Калитина [25, 26, 41], И.В. Гайшуна и Л.Б. Княжище [29],
Э.И. Грудо [31], A.A. Косова [51-53] и других ученых. В работах

Тогда положение относительного равновесия (1.5) равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова в виде
^(*,ч,ч) = т2{*,ч, +
Из условий, наложенных на функции и матрицы, входящие в уравнения движения (1.2), следует, что функция V является определенноположительной и допускает бесконечно малый высший предел по (ч> Ч ~~ Чо) в окрестности положения относительного равновесия (1.5). Для полной производной по времени в области Г имеем оценку
7 т т о
= ^(-Т2 - Д + IV - ТТо) + С^Ч < -7(<)Лз(||ч||) < 0.
Функция, предельная к 7(Д^з(||ч||), имеет вид 7*(Д^з(||ч||)• Докажем, что множество : 7*(Д^з(||ч||) — 0} не содержит положений
относительного равновесия предельной системы (1.6), кроме ф(Д = 0, q(^) = qo. Действительно, существует отрезок [0,г] С [0,Т], где т > О, на котором 7*(Д ф 0 и, соответственно, ф(Д = 0. Множество {<}(£) = 0} при Ь 6 [0, т] в силу условия теоремы 3) содержит только положение относительного равновесия предельной системы ф(Д = 0, р(Д = qo для £ 6 [0, т], а в силу единственности решений и для всех t £ Д+. Отсюда по теореме 1.7 главы 1 имеем равномерную асимптотическую устойчивость положения относительного равновесия (1.5).
Теорема доказана.
Предположим, что действующие силы СДг, 4,4) являются совокупностью сил С^ДСч) и 0,2^, Ч, 4). Силы обеспечивают
существование положения относительного равновесия (1.5) и согласно (1.4) удовлетворяют соотношениям
д¥ дВ
СЫ*,Чо) = ~Д^’Чо) + -^-(^Чо), Q2 (<, Ч, о) = 0.
Допустим, что действие сил потенциальных и инерциальных