Использование методов голономной механики для определения собственных частот и форм колебаний системы упругих тел

• Автор: Алмазова, Светлана Викторовна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Изучению колебаний упругих систем всегда уделялось и в настоящее время уделяется большое внимание. Среди первоклассных монографий и учебников, посвященных этим вопросам, можно упомянуть, например, книги И.М.Бабакова [3], Ден-Гартога [35], С.П.Тимошенко [11], Р.Куранта и Д.Гильберта [31], А.П.Филиппова [32], В.Л.Бидермана [33], Я.Е.Пановко [34]
1 ' , I
и др. Большое внимание этим вопросам уделено и в ряде книг, посвященных специальным-областям техники (например, кораблестроению [36], ракетным двигателям [37], станкостроению [38,39] и т.д.). Наряду со специальными монографиями по теории колебаний большой материал подобного типа содержится и в справочной литературе, например, в [42,], [43], причем в последнем справочнике содержится и богатый теоретический материал. К сожалению, в последние десятилетия количество опубликованных монографий и справочников такого уровня резко сократилось.
При исследовании колебаний упругих систем обычно используется один из двух подходов — либо создается математическая модель с конечным- числом степеней свободы, достаточно точно отражающая движение изучаемой механической системы, либо вся упругая система рассматривается как система с распределенными параметрами. В первом случае приходится работать с системой^ обыкновенных дифференциальных уравнений, а во втором - с уравнениями в частных производных. В диссертации рассматриваются два новых приближенных метода определения колебаний системы сочлененных упругих тел, колебания которых описываются как колебания систем с распределенными параметрами. Поэтому основное внимание уделяется методам, используемым при втором подходе.
При рассмотрении колебаний систем с распределенными параметрами прежде всего интересно попытаться-найти точное аналитическое решение с помощью метода разделения переменных (метода собственных функций, метода стоячих волн, метода Фурье). Однако, использование этого метода обычно удается довести до конца и построить решение в элементарных

функциях лишь для ограниченного количества случаев сравнительно простых тел. Так, даже, например, при изучении колебаний стержней (крутильных, продольных, поперечных) уже при переменности поперечного сечения уравнение Штурма-Лиувилля имеет переменные коэффициенты. Решения подобных уравнений получены лишь для очень небольшого количества уравнений в виде новых неэлементарных функций (высших трансцендентных функций, напр., функций Бесселя), полнота исследования которых во многом зависит от их практической ценности [49].
■ К аналитическим методам можно отнести и методы интегральных преобразований, в том числе операционное исчисление (см., напр., монографии [50], [51], [52]). Применение к уравнениям в частных производных любого интегрального преобразования сводит их к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, несмотря на то, что использование этих методов сравнительно легко дает решение задачи в изображениях, тем не менее, дальнейшая необходимость перехода от изображений к оригиналам обычно требует больших усилий и математических исследований.
Для определения частот и форм колебаний при исследовании колебаний оболочек активно применяются асимптотические методы (см., например монографии [53], [54,55], [56]).
Необходимость решения задач на колебания для систем с переменными характеристиками и для сложных систем упругих тел привела к созданию приближенных методов определения (прежде всего низших) частот и собственных форм колебаний. Среди этих методов можно выделить метод последовательных приближений (метод итераций), основанный на применении к исследованию колебаний упругих систем с распределенными параметрами, теории интегральных уравнений [58], [61].
Для создания-приближенных методов эффективно применяется,и теория вариационного исчисления. Одним из первых среди этих методов был метод Релея [59], в котором квадрат основной частоты колебаний может быть найден как минимум отношения функционала от потенциальной энергии к

функционалу от кинетической энергии. Большой заслугой Релея является предложение искать приближенное значение квадрата основной частоты колебаний как численное значение отношения этих функционалов, вычисленных при выборе функции сравнения в виде статической деформации системы. Именно близостью этой функции к первой собственной форме колебаний объясняется удивительная точность приближенного определения этим методом основной частоты колебаний механических систем, не превышающей обычно 3% отклонения от точного значения.
Дальнейшим усовершенствованием метода Релея явился метод Ритца [3], в котором решение отыскивается в виде линейной комбинации базисных (координатных) функций. Базисные функции должны удовлетворять геометрическим краевым условиям задачи. В' результате исследование движения системы с распределенными параметрами сводится фактически к нахождению собственных частот и собственных форм колебаний некоторой системы с конечным числом степеней свободы, частоты и формы колебаний которой оказываются близкими к низшим собственным частотам и собственным функциям исходной системы с распределенными параметрами.
Близким в вычислительном плане к методу Ритца оказался метод Бубно-ва-Галеркина [19,20]. В этом методе базисные функции должны удовлетворять и геометрическим и динамическим краевым условиям задачи. Подстановка приближенного решения задачи, отыскиваемого опять в виде линейной комбинации координатных функций, в уравнения дает невязку. Интересна механическая интерпретация этой невязки Бубновым: он рассматривает ее как реакцию идеальных голономных связей, которые следует наложить на движение системы, чтобы при их наличии система двигалась бы не как свободная, совершающая истинное движение, а как.несвободная — при наличии этих воображаемых связей система будет выполнять движение согласно принятому приближенному решению. Введение указанных голономных связей позволяет применить к системе принцип Даламбера-Лагранжа. Далее Бубнов предлагает потребовать выполнения принципа Даламбера-Лагранжа в, сред-

Корни ^2(т вычислены из уравнения ch(À) ■ cos(A) = —1 :
Л21 =1.875, Л22 = 4.694, Л23 = 7.855, = 10.996, Л25 = 14.137,
^„=“(20-1). «->5
Частоты колебаний 2-го стержня можно представить следующим обраPi ‘ *^2
^ _ s/z + sin Л^
Коэффициенты 2tr — —Г2 7~ 2 найдены численно:
CnAjv ' COS >^2<т
Л21 =1.316, Л22 = 0.982, Л23 =1.001, Л24 = 1, Л25=1, A2a = 1, 5 (2.2.6)
Решив уравнение ch(À) • cos(/l) = 1, найдем корни ^зст :
Л31 =4.73, Л,, =7.853, Л,, =10.996, Л,4 =14.137,
Л^а =~(2<Т + 1), сг>4,
„2 7 2 i4 >2 £3 "
тогда й>з<т - *з ‘^Цсг, *3 = ТГ'ТГ’ (2.2.7)
p3S3
где — собственные частоты колебаний 3-го стержня.
А _ sh?^a - sin Лзст Найдены коэффициенты з<т — chX^ — cos Л3 '
Â3I = 1.018, Л32 = 0.999, А33 = 1, А34 = 1, АЪ5 = 1, А3а = 1, а > 5. (2.2.8)