О существовании дополнительных аналитических интегралов в динамике твердого тела

• Автор: Сальникова, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 c. : ил

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ПРОБЛЕМА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ИНТЕГРАЛОВ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ВОЗМУЩЕННОГО
ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА
§ 1.1. Канонические переменные действие-угол в
задаче о волчке Лагранжа
§ 1.2. Возмущенное движение волчка Лагранжа
§ 1.3. Теорема Пуанкаре о существовании периодических решений для неавтономной возмущенной системы
с одной степенью свободы
§ 1.4. Существование периодических решений возмущенной задачи о волчке Лагранжа
§ 1.5. Теорема о неинтегрируемости: задачи о возмущенном движении волчка Лагранжа
§ 1.6. Ветвление решений и несуществование однозначных интегралов возмущенной задачи о
волчке Лагранжа
ГЛАВА 2. ДИНАМИКА СЛАБО НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
§ 2.1. Уравнения Кирхгофа и проблема их интегрируемости
§ 2.2. Случай интегрируемости Кирхгофа
§ 2.3. Теорема о неинтегрируемости возмущенного
случая Кирхгофа
§ 2.4. Вычисление характеристического интеграла

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ
§ 3.1, Движение тяжелого твердого эллипсоида
по гладкой плоскости
§ 3.2. Асимптотические решения в симметричном
случае
§ 3.3. Теорема о неинтегрируемоети возмущенной
задачи в симметричном случае
§ 3.4. Вычисление характеристического интеграла
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕЩЕНИЕ
Задача о движении абсолютно твердого тела как одна из наиболее распространенных в приложениях является одной из важнейших проблем механики.
С момента опубликования JI. Эйлером уравнений динамики твердого тела прошло более 200 лет, и в течений всего этого времени эта задача привлекает неослабное внимание исследователей. В классической постановке, когда рассматривается одно твердое тело се неподвижной точкой в однородном силовом поле, известны три первых интеграла и множитель Якоби для системы уравнений движения. Для полного аналитического решения задачи достаточно указать лишь один /четвертый/ интеграл. Таким образом, задача представляется весьма близкой к окончательному решению.
В математической постановке задача о движении тяжелого твердого тела сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений высокого порядка. Сущность направления классических исследований Эйлера, Лагранжа, Пуассона, Якоби, Гамильтона, Кирхгофа,
С.В.Ковалевской можно характеризовать следующим образом: "ставится задача разработки методов интегрирования дифференциальных уравнений механики и изучаются случаи, когда такая интеграция может быть доведена до конца, и решение задачи может быть получено в замкнутой форме, например, когда интегралы выражаются или через элементарные функции, или в квадратурах, или через те или иные классы хорошо изученных функций" [ю, с. Зв].
В классических случаях Эйлера и Лагранжа вращения тяжелого твердого тела около неподвижной точки решения уравнений Эйлера-Пуассона выражаются в эллиптических функция}: и являются однозначными и мероморфными функциями времени, а уравнения движения имеют дополнительный интеграл в виде алгебраической функции переменных. Поэ-

не Е. , как предполагалось. Теорема доказана.
Обратимся к возмущенному случаю движения твердого тела вокруг неподвижной точки: в случае Лагранжа. Пертурбационная функция
^ -е'1^ я М],
где: .-сопи,
9ч1у

у = т.
Для этих функций вшолнены условия периодичности:
яЩ^5Г) = Я+(¥),
(у ± %г) = ^ ^(сч+ а+СV),
ГДе -г-1^1, к'=ка');
т [гь^
а£, : <иг ос±- ъ , ^гьсс^
Л^-Д'
Обозначим Вгъ / гъ£ ЯП / множество точек IС Й / 53 -
вековое множество задачи Лагранжа/, удовлетворяющих условиям Ь(1)
— = П,
со^а)
Пусть 1° принадлежит некоторому В , а начальные фазы У^)=0 . Рассмотрим на комплексной плоскости £ £ С-замкнутый контур Г - границу прямоугольника сс^асС /рис. 3/.