Численные и аналитические методы в неголономной механике

• Автор: Мамаев, Иван Сергеевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 164 с. : ил.

Глава 1. Уравнения движения и методы интегрирования неголономных систем
§ 1. Уравнения движения неголономных систем
§ 2. Тензорные инварианты и свойства динамических систем
2.1. Тензорные инварианты неголономных систем
2.2. Тензорные инварианты и динамические особенности поведения . . .
§3. Интегралы и поля симметрий, понижение порядка и интегрируемость . . . .
3.1. Поля симметрий и понижение порядка
3.2. Интегрируемость и приводимость
Глава 2. Тензорные инварианты в динамике твердого тела на абсолютно шероховатой поверхности
§1. Тело на плоскости
1.1. Уравнения движения, интегрируемость, иерархия динамики
1.2. Трехмерные точечные отображения в неголономной механике
1.3. Тело вращения на плоскости (С. А. Чаплыгин [115], П. Аппель [1,127])
1.4. Качение уравновешенного динамически несимметричного шара (шар
Чаплыгина [117])
1.5. Качение динамически несимметричного неуравновешенного шара по
плоскости
1.6. Произвольное тело с шаровым центральным эллипсоидом инерции
1.7. Качение эллипсоида по плоскости
1.8. Гиростатические обобщения
§2. Тело на сфере
2.1. Уравнения движения
2.2. Качение тела вращения
2.3. Динамически несимметричный уравновешенный шар на сфере
2.4. Динамически несимметричный неуравновешенный шар на сфере . . .
2.5. Качение тела с плоским участком по сфере

2.6. Качение произвольного тела с шаровым тензором инерции (I = /гЕ,
д = const, Е = ||<5у||) по сфере
2.7. Эллипсоид со специальным распределением масс на сфере
2.8. Гиростатические обобщения
§3. Качение динамически симметричного шара по неподвижной поверхности
3.1. Уравнения движения
3.2. Интегралы движения и инвариантная мера
3.3. Движение шара по поверхности вращения
3.4. Качение шара по поверхностям второго порядка — неголономная
задача Якоби
3.5. Движение шара по цилиндрической поверхности
Глава 3. Динамика кельтских камней
§1. Постановка задачи и уравнения движения
§2. Переменные Андуайе—Депри и трехмерные отображения Пуанкаре
§3. Симметрии потока и отображения
§4. Известные аналитические результаты в динамике кельтского камня
§ 5. Численные исследования динамики кельтского камня
Приложение 1. Препятствие к гамильтоновости неголономных систем
Приложение 2. Динамика кругового цилиндра, взаимодействующего с точечными вихрями
Приложение 3. Новый интеграл четвертой степени уравнений Кирхгофа и Пуанкаре-Жуковского
Приложение 4. Две интегрируемые системы на двумерной сфере
Приложение 5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости обобщенных цепочек Тоды
Заключение
Литература

В настоящее время достигнут большой прогресс в исследовании как интегрируемых, так и неинтегрируемых систем, описываемых уравнениями лагранжевой и гамильтоновой механики. К ним относятся прежде всего конечномерные системы из небесной механики (задача п тел), динамики твердого тела (уравнения Эйлера —Пуассона), вихревой динамики, динамики многочастичных систем и др. Аппарат лагранжевой и гамильтоновой механики существенно связан с тем, что связи, наложенные на систему, являются голономными (интегрируемыми, геометрическими). Если связи не являются интегрируемыми, т. е. не сводятся к некоторым конечным соотношениям между обобщенными координатами, то уравнения движения уже не записываются в форме уравнений Лагранжа и Гамильтона, в них добавляются «члены неголономности», которые приводят к новым интересным динамическим эффектам, систематическому изучению которых и посвящена данная работа.
В развитии неголономпой механики можно выделить два направления, в каждом из которых имеются интересные исследования. Одно из них связано с общим формализмом уравнений динамики, который отличается от лагранжева и гамильтонова метода составления уравнений движения. Исторически рядошибок известных математиков, среди которых можно назвать К. Неймана [ 174] и Э. Линделефа [ 169], был связан с некорректностью применения уравнений Лагранжа при наличии неинтегрируемых связей для описания задачи о качении тела без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Окончательное понимание неприменимости уравнений Лагранжа и вариационных принципов в неголономной механике принадлежит Г. Герцу, который обсуждает эти вопросы в своем фундаментальном труде «Принципы механики, изложенные в новой связи» [36]. Именно Г. Герц ввел термины голономные и неголономные связи. Замечания Герца развил А. Пуанкаре [96] в своей известной работе «Идеи Герца в механике»
Основное отличие неголономной механики от обычной лагранжевой состоит в том, что уравнения связей, записанные через обобщенные координаты ^ и обобщенные скорости ф,-в виде
/*(9.9,0 = °> г = 1, к, ч = {(ц, 9«), (1)
не могут быть представлены в конечном (интегральном) виде
Щд, 0 = о, (2)

система может интерпретироваться как неголономный гиростат. Эффект гиростата может быть также достигнут при добавлении в тело многосвязных полостей, целиком заполненных идеальной несжимаемой жидкостью, обладающей ненулевой циркуляцией [12]. В описываемом случае уравнение для момента (2.1) может быть представлено в виде
М = (М + Б) х из + тг х (ш х г) + М<з,
где Б — постоянный трехмерный вектор гиростатического момента. Легко видеть, что добавление ротора не влияет на существование интеграла энергии (2.5) и инвариантной меры с плотностью, зависящей от позиционных переменных 7.
Тело вращения. Для ротора с гиростатическим моментом Б = (0, 0, в), направленным вдоль оси вращения, уравнения типа (2.17) в переменных (2.11) имеют вид
,3 п (2.42)
^ = -mpf1((f1-f')K1+f2s).
В менее удобной форме уравнения (2.42) были получены С. А. Чаплыгиным [115]. Плотность инвариантной меры также задается выражением (2.9).
Разберем последовательно обобщения случаев диска, эллипсоида и шара со смещенным центром, указанных ранее.
a) Круглый диск. Уравнение (2.25) переходит в следующее
•2 I
- ctg 9-^- + mRI3(R + а ctg в)р2и>3 = smRp2(R + а ctg 9), (2 43)
Р = (ААз + hmR2 + /Зта2)-^, которое при а = 0 сводится к, вообще говоря, неоднородному (при s ф 0) гипергеометри-ческому уравнению.
b) Шар со смещенным центром масс. Здесь система (2.42) принимает вид
- -s, -j—^ = -mpR(Rj3 + a)s, (2.44)
“7з “7з
где р задается соотношением (2.27). Сразу можно указать один интеграл, обобщающий интеграл Желле
F = Ki + s-уз = const. (2.45)
Второй интеграл, обобщающий интеграл Рауса (Чаплыгина), имеет более сложный неалгебраический вид
(А — h)p 1и>з~
~s |p_1- J1Jт^тз'лтсЛ% (/tÄp(äyз(/1-/з) “ а/з)) } = const' (2 46)