Некоторые задачи динамики маятниковых систем

• Автор: Буров, Александр Анатольевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 133 c. : ил

Глава I. МЕТОД СИМВОЛИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
§ I.I. Леммы о расщеплении сепаратрис
§ 1.2. Символическое описание траекторий
§ 1.3. Пример. Движение маятника с периодически колеблющейся точкой подвеса. Расщепление
сепаратрис
§ 1.4. Пример продолжение . Символическое описание решений в окрестности гомоклиничес-кого контура. Их механическая интерпретация
§ 1.5. Исторический комментарий
Глава 2. ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ СПУТНИКА В ПЛОСКОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
§ 2.1. Постановка задачи
§ 2.2. Теорема о расщеплении сепаратрис
§ 2.3. Символическое описание решений в окрестности грубого гомоклинического контура, их
механическая интерпретация
Глава 3. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАЛОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВРАЩАЮЩЕГО МОМЕНТА
§ 3.1. Постановка задачи
§ 3.2. Теорема о расщеплении сепаратрис
§ 3.3. Символическое описание решений в окрестности грубого однообходного гомоклинического контура, их физическая интерпретация

Глава 4. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ДВУЗВЕННОГО ПЛОСКОГО
МАЯТНИКА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
§ 4.1. Постановка задачи
§ 4.2. Возмущение стационарных решений
§ 4.3. Понижение порядка системы уравнений движения по Уиттекеру. Теорема о расщеплении сепаратрис. Несуществование дополнительного интеграла
§ 4.4. Символическое описание решений в окрестности однообходного гомоклинического контура.
Их механическая интерпретация
§ 4.5. Переменные "действие - угол". Рождение периодических решений из резонансных торов
невозмущенной задачи
Приложение А. К ЗАДАЧЕ ЛАГРАНЖА О СРЕДНЕМ ДВИЖЕНИИ ПЕРИГЕЛИЕВ
§ A.I. Постановка задачи
§ А.2. Теорема об уточнении значения среднего
движения
Приложение В. О СУЩЕСТВОВАНИИ ДВОЯКОАСИМПТОТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
ПЛОСКОСТИ НА СЕБЯ, БЛИЗКИХ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ
Заключение
Литература

Задачи динамики маятниковых систем являются традиционным объектом исследования теоретической механики. Их изучение восходит еще к Галилею, подметившему изохронность малых колебаний тела с неподвижной горизонтальной осью и предложившему абстрактную схему исследования этого явления - модель математического маятника [2б]. Изучением движения маятников занимались Декарт, Роберваль, Гюйгенс, Ньютон, Гук. Обобщив задачу о физическом маятнике, Леонард Эйлер положил начало исследованию движения твердого тела вокруг неподвижной точки.
Маятниковые механические системы очень разнообразны. К ним относятся маятник с периодически меняющейся длиной, маятник с вибрирующей точкой подвеса, составные маятники, маятники, содержащие упругие элементы. С точки зрения теории маятниковых систем естественно рассматривать, например, и задачу о плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите. Большой вклад в исследование динамики маятников внесли отечественные ученые Н.Е.Жуковский, А.А.Андронов, П.Л.Капица, Н.II.Боголюбов,
А.Ю.Й1ПЛИНСКИЙ, В.В.Румянцев и др.
Особенностью многих конкретных задач динамики маятников является сочетание простоты их физической постановки и сложности их решений. Описание этих сложных решений, а также их механическая интерпретация являются актуальными задачами современной механики.
История изучения маятниковых систем дает характерный пример гармоничного сочетания теоретических и практических разработок. Так в работах Гюйгенса наряду с задачей создания часов была решена теоретическая задача о приведенной длине

§ 2.2. Теорема о расщеплении сепаратрис
Теорема 2.1. Если значение эксцентриситета ЄФО достаточно мало, то при всех о і О хотя бы одна из пар асимптотических поверхностей расщепляется и пересекается.
Доказательство. Следуя Пуанкаре, будем искать уравнения асимптотических поверхностей в виде
а ££
р-тір
где функции ( С| } в ) удовлетворяют уравнению Гамильтона-Якоби
Подставляя в (2.2.2) выражение для функции Гамильтона (2.1.4) и разложения (2.2.1), а также собирая члены при нулевой и первой степенях параметра в- , имеем £ ( эБо ^ л 3 2о

( - а + 2 - со*(со^ н) ■= I (2.2.3)
+ Э81Ц? _ {(~Т-ч) о _ (2 2 4)
го ^ / 1 и
-а +4) -о
Двоякоасимптотическим решениям соответствует значение &=<9 , следовательно, в силу (2.2.3) уравнения асимптотических поверхностей в нулевом приближении имеют вид
(2.2.5)