Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли

• Автор: Садэтов, Семен Тигранович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 155 с. : ил.

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
И АЛГЕБРЫ ЛИ Введение
Глава 1. Доказательство гипотезы Мищенко - Фоменко (1981)
Глава 2. Случаи интегрируемости, гамильтоновости и представления уравнений механики в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли
§2Л. Симплектическая структура на орбитах коприсоеди-ненного представления - дифференциал рациональной
1-формы
§2.2. О регулярной редукции п-мерной задачи N + 1 тел
к уравнениям Эйлера - Пуанкаре на алгебре Ли sp(2N) 21 §2.3. Продолжение общих интегрируемых случаев уравнений вращения твердого тела вокруг центра инерции до интегрируемости поступательного движения при наложении постоянной в сопутствующих осях силы
тяги
§2.4. Интегрируемость уравновешенных центрированных равночастотных упругих вибраций при свободном вращении
§2.5. Интегрируемое обобщение с дополнительным параметром
§2.6. Интегрируемый гравитационный потенциал в пространстве постоянной кривизны
§2.7. Классификация рациональных потенциалов, разделяющихся в эллиптических (сфероконических) координатах
§2.8. Интегрируемые случаи вращения твердого тела со
связью
Глава 3. Необходимые условия существования дополнительного алгебраического интеграла
§3.1. Неиптегрируемость задачи Хилла и ограниченной
круговой плоской задачи трех тел на уровне энергии
§3.2. Критерий интегрируемости в задаче Якоби о движении точки по п-мерному эллипсоиду в квадратичном
потенциале
§3.3. Уравнения Кирхгофа движения твердого тела в идеальной жидкости
Тексты программ на языке МАРЬЕ V
Рисунки
Литература
.а.

Краткие формулировки полученных в диссертации результатов.
В главе 1 диссертации соискателем полностью доказана гипотеза Фоменко - Мищенко о коммутативных подалгебрах в алгебрах Пуассона алгебр Ли, поставленная в 1981 г. Доказанная формулировка: в алгебре Пуассона полиномов произвольной конечномерной алгебры Ли (над полем характеристики 0) конструктивно строится полный коммутативный набор. Полученные полные коммутативные наборы приводят к интегрируемым системам на алгебрах Ли. Из доказанной гипотезы о коммутативных подалгебрах вытекает полностью в исходной формулировке другая гипотеза Фоменко - Мищенко об эквивалентности коммутативной и некоммутативной интегрируемости, поставленная в 1978 г.
Доказательство гипотезы Мищенко - Фоменко опирается на предложенную соискателем конструкцию. Рассматриваются пуассоновые бирациональные изоморфизмы сопряжщшых пространств к алгебрам Ли. Затем производится локализация по центру нильрадикала и подполе расширяется. Приведенная конструкция итерируется.
В главе 2 получен ряд результатов, связанных с представлением уравнений механики в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли, найдены интегрируемые случаи.
В §2.1 установлено, что симплектическая структура на орбитах ко-присоединенного представления алгебраических алгебр Ли является дифференциалом рациональной 1-формы. Этот результат, в частности, свидетельствует в пользу того, что уравнения Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли, могут оказаться глобально лагранжевыми в подходящих координатах.
В §2.2 построена редукция п-мерной задачи N + 1 тел при п, N > 2 по вращениям и сдвигам к уравнениям Эйлера - Пуанкаре на алгебре Ли 5р(2ЛГ) с редуцированным гамильтонианом. В отличие от известных построенная редукция является гомеоморфной. Вычислен гомотопический тип орбит редуцированного фазового пространства в плоской и пространственной задачах трех тел. Для пространственной задачи трех тел, а также для плоской и пространственной задачи N + 1 тел в окрестности относительных равновесий полученная редукция может быть использована для повышения эффективности численных вычислений.
В §2.3 получено продолжение общих интегрируемых случаев уравнений Эйлера - Пуассона при наложении постоянной в сопутствующих осях силы тяги. Обнаружена сохраняемая уравнениями движения гамильтонова структура, не являющаяся натуральной.
В §2.4 установлена интегрируемость уравнений, описывающих свободное вращение вокруг неподвижной оси системы колеблющихся твердых и линейно упругих тел, при естественных условиях центрированности, уравновешенности и равночастотности. Рассматриваемое явление смещения масс при вращении широко встречается в технике.
В §2.5 получено интегрируемое обобщение идеализации интегрируемой системы из §2.4. А именно, введен дополнительный искривляющий параметр: прямолинейные траектории относительного движения колеблющихся материальных точек заменены коническими логарифмическими спиралями.
В §2.0 установлено обобщение интегрируемого потенциала Якоби - Дарбу со случая плоскости на случай двумерной сферы Б2 и двумерного пространства Лобачевского Ь2. Обобщение удовлетворяет уравнению Лапласа. При этом к 4 парам антиподальных центров на Б2, обобщающим классические 4 гравитирующих центра Г.Дарбу, добавляются еще две пары. Все 6 пар гравитирующих центров (из которых 2 - вещественные и 4 - комплексные) лежат по две в главных ортогональных плоскостях сфероконических координат и являются двенадцатью особыми точками некоторой комплексной кривой на комплексификации сферы Б2. Эта комплексная кривая - носитель дивизора ветвления комплексных сфероконических координат. Если ограничиться двумя парами антиподальных центров, данный потенциал интегрируем и удовлетворяет уравнению Лапласа на трехмерной сфере Б3 и в трехмерном пространстве Лобачевского Ь3.
В §2.7 найдены новые серии рациональных (в том числе, регулярных) разделяющихся потенциалов в К", на (п — 1)-мерном эллипсоиде, на А;-мерных конфокальных поверхностях при 2 < к < п — 1, на сфере Бп~1. Найден базис в пространстве рациональных разделяющихся потенциалов на указанных поверхностях.
В главе 3 получены необходимые условия существования дополнительного алгебраического интеграла в задачах:
(1) Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости (§3-3),
(2) Якоби о движении точки по п-мерному эллипсоиду в квадратичном потенциале при наличии п + 1 взаимно ортогональной гиперплоскости симметрии (§3.2).
Те же условия §3.1 на произвольном уровне энергии получены в задачах:
(3) Хилла и
(4) плоской круговой ограниченной трех тел.
В задаче Кирхгофа в частном случае (при наличии осевой симметрии и трех взаимно ортогональных плоскостей симметрии) получен критерий интегрируемости. То есть, полученные необходимые условия интегрируемости совпадают с достаточными, найденными классиками. Критерий интегрируемости получен и в задачах (2) - (4) в общей постановке. Попутно, в разделе 2 из §3.1, в разделе 2.3 из §3.2, в разделе 5 из §3.3 получены упрощения и развития метода Гюссоиа. В разделе 4 из §3.2 попутно установлена наследуемость интегрируемости по Лиувиллю на инвариантные 4-мерные симплектические многообразия в алгебраической категории. В разделе 3 из §3.1 попутно получено обобщение результатов ЛТЛиувилля о невозможности выражения в алгебраических функциях и экспонентах интеграла от произведения алгебраической функции и экспоненты.
Связь между результатами такова. Изначально были получены результаты главы 3 по неинтегрируемости. Затем, на основе погде Ь - исходное время, X - момент инерции системы относительно оси ОЕ. Опорные реакции в подшипниках, действующие на ось ОЕ выражаются в алгебраических функциях от этих 0-функций и производных этих 0-функций порядка < 2.
В. Интегрируемость обобщается на случай наличия в телах и турбине свободно вращающихся роторов при выполнении условия:
6°. Если роторы или сами тела допускают свободное вращение вокруг некоторых осей, они должны быть относительно этих осей уравновешены и динамически симметричны.
Данная модель линейно упругого тела с одной степенью свободы деформации применима для пружинящего цилиндра в предположении малости массы цилиндра по сравнению с массой тела. Ее применимость в предположении соизмеримых масс определяется тем, что для цилиндра, одно основание которого закреплено, а другое свободно, амплитуды колебаний собственных частот убывают обратно пропорционально квадратам нечетных чисел.
2. Простейший случай. Предположим сначала, что демпфирующие цилиндры невесомы и тела могут совершать лишь поступательное движение относительно турбины. Тогда, по теореме Кенига, кинетические энергии турбины и г-го тела имеют вид
2> + ^Ф'2) (2.1)
Штрих означает производную по времени £, ф - угол поворота тур-

бины, ш; - масса г-го тела, V, =ОС{ - скорость его центра масс Д, 1о - момент инерции турбины относительно ОЕ, X - тела относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно ОЕ.
Пусть Д - угол между прямыми ОЕ и Iг-, удовлетворяющий условию 0 < Д; < 7г/2, см. фиг. 1, пусть г,- - вертикальная координата центра масс Д с началом в П ОЕ. Здесь предполагается, что
направления векторов ОЕ,д)дг^ противоположны направлению силы тяжести. Пусть рг - горизонтальная координата центра масс Д вдоль X, являющаяся ориентированным расстоянием до оси ОЕ, где ориентация такова, что при движении тела координата ^ не убывает одновременно С Рг, СМ. фИГ. 2, 3. Тогда 2;
(2-2)
Потенциальная энергия г-го тела с г-ым цилиндром имеет вид
А/? у О] В? о /
2( > + т9г" (2'3)
где к{ - жесткость г-го цилиндра вдоль X, 0 > Д- - та же горизонтальная координата точки пересечения прямой X с ортогональной X плоскостью закрепления цилиндра в турбине, р,- — Д - та же горизонтальная координата точки пересечения прямой X с ортогональной X плоскостью закрепления цилиндра в теле. Здесь 0 < Д, см.