Численные методы построения оптимального управления в системах с запаздыванием

• Автор: Мазурова, Ирина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Оглавление
Введение
Г лава 1. Обобщенная популяционная модель хищник-жертва, описываемая системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра
§1. Постановка задачи оптимального управления в обобщенной популяционной модели хищник-жертва
§2. Применение методологии БАД для построения оптимального управления в обобщенной популяционной модели хищник-жертва
2.1. Описание метода БАД для оптимизации систем, описываемых интегро-
дифференциальными уравнениями
2.2. Практическая реализация численного алгоритма на основе метода БАД
2.3. Блок-схема численного алгоритма оптимизации на основе метода БАД
2.4. Анализ влияния параметров задачи на оптимальное решение системы
§3. Применение генетического алгоритма для построения оптимального решения системы, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями
3.1. Описание генетического алгоритма
3.2. Практическая реализация генетического алгоритма
3.3. Блок-схема генетического алгоритма
3.4. Анализ влияния параметров генетического алгоритма
§4. Сравнение результатов работы метода БАД и генетического алгоритма
Глава 2. Модель нейронной сети, описываемая системой интегро-дифференциальных уравнений
§ 1. Постановка задачи оптимального управления в модели искусственной нейронной сети 67 §2. Применение методологии БАД для обучения искусственной нейронной сети
2.1 Алгоритм построения приближенного оптимального решения
2.2 Анализ влияния параметров задачи на оптимальное решение
§3 Применение генетического алгоритма
3.1. Практическая реализация генетического алгоритма
3.2 Анализ применения генетического алгоритма в зависимости от параметров
§4. Сравнение результатов работы метода БАД и генетического алгоритма
§5. Задача обучения искусственной нейронной сети как задача оптимального управления с нефиксированным временем
Г лава 3. Методы сведения многокритериальной задачи к задаче с одним критерием и программная реализация разработанных алгоритмов
§ 1. Общие сведения о методах сведение исходной многокритериальной задачи к задачам с единым критерием
§2. Практическая реализация методов сведения исходной многокритериальной задачи к задачам с единым критерием
2.1 Метод линейной свертки
2.2 Свертка с неотрицательными весовыми коэффициентами
2.3. Принцип гарантированного результата
§3. Программная реализация разработанных алгоритмов
3.1 Проектирование пользовательского интерфейса
3.2. Разработка модульных тестов.
3.3. Компьютерные программы для статистической обработки данных
3.4. Программная реализация разработанных алгоритмов
Заключение
Список литературы

Введение
Изучение многих процессов, происходящих в различных биологических, экологических, экономических и технических системах, сводится к построению и анализу их математических моделей. Рассмотрение модели произвольной
непрерывной динамической системы как взаимосвязанной совокупности
элементов, выходы и входы которых связаны причинными отношениями, приводит к описанию их в общем случае системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра.
Имеется обширная литература, посвященная изучению частных классов интегро-дифференциальных уравнений, либо некоторым частным вопросам теории интегро-дифференциальных уравнений. К последним, в частности, относятся монография Быкова [38], посвященная исследованию ряда вопросов качественной теории интегро-дифференциальных уравнений, монографии Вольтерра [43]. В ряде случаев интегро-дифференциальные уравнения
исследуются как частный случай различных классов функциональных
(В.И.Сумин, 1Уа^а), функционально-дифференциальных (Н.В.Азбелев, А.И.Булгаков, В.П.Максимов, ЕНа1е) уравнений.
Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на такие системы — управлять ими. При этом часто возникает вопрос об отыскании наилучшего (оптимального) в том или ином смысле управления. Основные вопросы, которые возникают при теоретическом исследовании оптимизационных задач, — существование, единственность, и нахождение оптимального управления при условии его существовании.
Истоки теории оптимального управления восходят к работам Л.С. Понтрягина [99],[27],[28], Р. Беллман [26], Н.Н. Красовского [71], У. Флеминга,
A. Фридмана.
Большой вклад в развитие теории оптимального управления внесли
B.Г. Болтянский, Л. Д. Беркович, Е. А. Брайсон, Дж. Варга, Р. Ф. Габасов, Р.В. Гамкрелидзе, А. Я. Дубовицкий, Ю. Г. Евтушенко, В. И. Зубов, А. Д. Иоффе, Ф.
М. Кириллова, A.A. Колесников, В. Ф. Кротов, Г. Лейтман, А. А. Милютин, Е.Ф. Мищенко, H. Н. Моисеев, H. Н. Петров, Л.И. Розонэр, В. М. Тихомиров, Ф. Л. Черноусько, С. В. Чистяков, В. А. Якубович, Д. Эллиот.
Теория оптимального управления разнообразными сосредоточенными и распределенными системами получила свое развитие как в отечественных работах (С.А.Авдонин, Ю.Г.Борисович, В.А.Брусин, А.Г.Бутковский, Ф.П.Васильев, М.И.Зеликин, А.Д.Иоффе, А.З.Ишмухаметов, Ю.В.Орлов, М.М.Потапов, Л.И.Розоноэр, и др.[1]-[3],[34]-[37],[84],[87],[92]), так и за рубежом (M.M.Denn, H.O.Fattorini, A.V.Fridman, J.Warga, L.J.Young и др.).
Оптимальное управление системами интегро-дифференциальных уравнений исследовалось в работах А.Н.Джорбенадзе, В.И.Сумина и др. [56].
Одной из важнейших проблем остается численное решение задач оптимального управления. Наиболее часто встречаются методы конечноразностной аппроксимации уравнения (методы сеток, прямых); метод моментов, методы, использующие принцип Беллмана, градиентные методы, методы финитного управления. До сих пор продолжается разработка методов, учитывающих специфические особенности того или иного класса экстремальных задач, за счет чего облегчается их численная реализация. Большую сложность при этом представляет проблема обоснования их сходимости.
Исторически развитие численных методов решения задач оптимального управления началось с методов первого порядка, известных как градиентные методы, одновременно с созданием современной теории оптимального управления. В числе основоположников отметим Р. Куранта [109], Д.Е. Охоцимского и Т.М. Энеева [88-89],[108], JI.B. Канторовича [67], Л.И. Щатровского [106], Дж. Келли [68]. Наряду с этим реализовались и другие методы, родственные градиентным, основанные на принципе максимума Понтрягина [75-76], [40].
Цикл работ по численным методам оптимального управления был выполнен
H.H. Моисеевым и его учениками. В этих работах был разработан подход,

2.3. Блок-схема численного алгоритма оптимизации на основе метода

Ввод параметров
А /Я,

| /•" ЇХ****, ,Л** ,1/*' И > |
ч /«'«/ДхГО у^М^Л''/ |
«■ -ж? ‘5Э..Д ж *кг ■*
I р^-Ріір1 Г*' Т* ХЛ 'У1}
| г*,=Рф'~' г4* ■с*'*’' г и 'V')
//*' '1}=Р^оИ', г?, і/*'/ »Л*!«=^ Лг'у т,г^
^ лл'^=/Г/х?", -си,и/*~‘*,*~’*) І 1 /г,^й.и и>ил-^^-о, I

] І »1 + / й
сггпа«»«***мй 'в
Параметры задачи:
(гНг Xе, Xе і, 3„С,1, М„К, ‘ •= см )>* ~ -1,0, /^С.' - О
л сй К *>*,'* *» 'я
Парамеїрьі меюда:
Д! £ 0, (іЛув> (і^
•//()»2ІС|/і()

"<>-І>т£Н=г
(.і '/
•/н, О = шах --"■■■
, у .пах
Пяррто-аня ніг
!,т".

І,'»
І(«ри
і(«рО.

^ЯНД І^ШХ
)2,1Ш І® ]_П®
1?срі_1 |_орт_» І^орг_!
1.0Р»-2. улд І4°р*~2.
І,°Р*-А І ор*_3 [,чО
2.4. Анализ влияния параметров задачи на оптимальное решение
системы
Метод отрабатывался на примере взаимодействия двух популяции при следующих параметрах задачи:

Аи)=-1 №х (о - е1и1 (0)+к>| (о - 21 у, (о)<*+

+мҐ((д, -х,(:г),о)2+)+м, {й -уі(Т)$

+ ЛГ, | ((С, - X, (0,0)+ Уіі + Щ ((с, - у, (0,о)+ )* о о
7М0, т = 1, и = 1, хі(0)=6, уі(0)=6, Я, =0, е, =0.75, с, ,=0, <7ц=0, «[=0.75, у,[=0.1, а,, =0.0375, 6П =0.0375, Д, =7.5, Д =13, С[=6.5, С, =5,