Метрическая проекция и функции расстояния и антирасстояния для сильно выпуклых множеств

• Автор: Голубев, Максим Олегович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Свойства оператора метрического проектирования на

сильно выпуклые множества

1.1 Предварительные сведения

1.2 Связь константы Липшица метрической проекции на сильно выпуклое множество с радиусом сильной выпуклости
1.3 Связь сильной выпуклости множества с сильной выпуклостью функции расстояния и слабой вогнутостью функции антирасстояния

2 Приложение результатов главы 1 в задачах оптимизации и аппроксимации

2.1 Предварительные сведения

2.2 Метод проекции градиента для выпуклой функции и сильно выпуклого множества

2.3 Метод проекции градиента для сильно выпуклой функции и сильно выпуклого множества
2.4 Оценка константы Липшица метрической проекции на внешнюю многогранную аппроксимацию сильно выпуклого с радиусом Я множества в К”

Заключение Список литературы
Введение
Темой представленной диссертации является изучение аппроксимативных свойств выпуклых множеств в гильбертовом пространстве. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе рассматриваются свойства оператора метрического проектирования на сильно выпуклое множество с радиусом Я > 0 в гильбертовом пространстве. Под сильно выпуклым множеством с радиусом Я подразумевается множество, которое может быть представлено в виде некоторого пересечения замкнутых шаров одного и того же радиуса Я > 0. Также в первой главе рассмотрены некоторые свойства функции антирасстояния до выпуклого замкнутого ограниченного множества в гильбертовом пространстве. Вторая глава посвящена приложениям результатов первой главы в задачах оптимизации и аппроксимации. Исследованы различные варианты алгоритма метода проекции градиента для выпуклой функции (в общем случае, не обязательно сильно выпуклой) и сильно выпуклого множества. Получены оценки сходимости этого алгоритма со скоростью геометрической прогрессии. Рассмотрены свойства внешних многогранных аппроксимаций сильно выпуклых множеств в К".
Оператор метрического проектирования является классическим объектом исследования специалистами по теории функций и оптимизации. Поскольку значительная доля задач оптимизации рассматри-

Теорема 1.2.2 Пусть Л С И замкнутое выпуклое множество, в С Ьс1 А и для любой точки а £ 5 найдется число и (а) > 0, такое что множество В = В,,^ (а) Р) А равномерно выпукло с модулелг выпуклости 5в^) > СР , где С > 0, р > 2. Пусть число д > 0, а множество Ф задано формулой (1.2.10).
Тогда Уе > О Уха £ Ф 3(5 = 5(е,ха) > 0 /хь £ Ф : [ха, х( 6 Ф, \ха — Хь\ < д, выполнена оценка
\ха - ж&||2 > ||а - £>||2 + ~ £) ^й ~
где {а} = РА(ха), {Ь} = РА{хь)
Доказательство. Зафиксируем точку ха £ Ф, пусть {а} = РА{ха)• Выберем такую точку хь £ Ф, что для точки {6} = РА{хъ) верно неравенство ||а — Ь|| < и(а) аафЬ (например, если ||а:а — ж&|| < и(а), то и ||а — Ь|| < и(а) в силу выпуклости множества А). Определим множество В = Дд0)(а) р| А. Пусть Iо = ||а — Ь||, йо = дц(1 о). Из определения функции 5в(ф) следует, что В() = В$0 (22^) С А. Определим ао = Ь. Выберем точку а следующим образом оц € Во = В&о (щг1) П со (жа) о, Оо}, отрезок аа касается шара Во в точке а. Построим последовательность ак следующим образом: для всех к £ М, к > 2, ак £ со{ха,а,ак-1}, ак £ Вк_ 1 = Двщ_х) (^±^) и отрезок аак касается шара Вк~ в точке ак, где 1к = ||а — а*,||. По индукции, используя определение модуля выпуклости множества В, для всех к £ N получаем включение ак £ В. Следовательно ак £ А. Пусть 5к — 5в(1к) и оск = /.ак+аак. Очевидно, что ак > эшак — > 2С1рк~1, где последнее неравенство следует из
неравенства дв(ф) > СР.