Неантагонистические дифференциальные игры со случайными моментами выхода игроков из игры

• Автор: Костюнин, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ ’
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ СО СЛУЧАЙНОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА ВЫИГРЫША

1.1. Постановка задачи

1.2. Преобразование функционала выигрыша к удобному виду

1.2.1. Случай неотрицательной функции плотности выигрыша

1.2.2. Общий случай

1.3. Пример невыполнения условий представления функционала выигрыша в упрощённой форме

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА УПРАВЛЕНИЯ ВРЕДНЫМИ ВЫБРОСАМИ

2.1. Модель игры
2.2. Функция выигрыша
2.3. Равновесие по Нэшу
2.4. Кооперативная игра
Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА С РАЗЛИЧНЫМИ МОМЕНТАМИ ВЫХОДА ИЗ ИГРЫ ЕЁ УЧАСТНИКОВ
3.1. Постановка задачи
3.2. Моменты окончания, распределённые на конечном промежутке времени
3.3. Математическое ожидание выигрыша игроков
3.4. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана
3.5. Переход к задаче оптимального управления

Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СОВМЕСТНОЙ РАЗРАБОТКИ НЕВОЗОБНОВЛЯЕМОГО РЕСУРСА
4.1. Модель игры
4.2. Решение задачи оптимального управления
4.3. Построение равновесия по Нэшу
4.4. Экспоненциальное распределение моментов окончания разработки
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Теория дифференциальных игр в настоящее время является одним из наиболее бурно развивающихся разделов математической теории игр. Главным образом это связано с тем, что математический аппарат дифференциальных игр позволяет реалистично моделировать конфликтно-управляемые процессы, непрерывно развивающиеся во времени. Так динамика фазовой переменной, описывающей состояние процесса, задаётся системой дифференциальных уравнений на некотором временном промежутке заданной продолжительности.
Теория дифференциальных игр сформировалась как отдельный раздел математической теории игр в пятидесятых годах двадцатого века. Одними из первых интересные результаты в этой области получили Р. Айзекс [45], Л. Берковитц [35], В. Флеминг [43].
Долгое время исследования были посвящены в основном антагонистическим дифференциальным играм. Значительные успехи в данной области связаны с представителями отечественной научной школы Н. Н. Красов-ским [19,20], Л. А. Петросяном [25], Л. С. Понтрягиным [29].
Толчком для развития теории неантагонистических дифференциальных игр послужили задачи конфликтного управления со многими участниками из различных практических областей. В качестве принципа оптимальности в неантагонистических дифференциальных играх чаще всего рассматривается равновесие по Нэшу в программных или позиционных стратегиях. Основные результаты, посвящённые исследованию вопроса существования и проблемы построения равновесия по Нэшу, получены в работах А. Ф. Клейменова [11, 12], А. Ф. Кононенко [14], С. В. Чистякова [31].
Особый интерес представляют также кооперативные дифференциальные игры [9,10,23,26]. В частности, одним из важнейших направлений исследований в данной области является проблема динамической устойчивости (состоя-

Для нахождения необходимых условий оптимальности будем использовать принцип максимума Понтрягина [30]. Если набор стратегий (е*('£) = Q(t,Po),i € 1,п}, образует равновесие по Нэшу в программных стратегиях, то существует п сопряжённых функций Aj(t) : [0; оо) ^ R,i £ N, таких что выполняются следующие соотношения:
Ci{t,Po) = e*(t) = arg max Hi(t,Ai(t),P*(t),el(t),
e<6[0; Ь{]
eu e*+i (t), e*n(t)), (2.6)
Ш = ~W'Hi В данном случае гамильтониан имеет вид:
Hi(t, А,, Р&п) — ^ßj -ß;^ di P^ е + Лг ^ ) ßj.
В дальнейшем будем опускать аргументы функций для сокращения записи и наряду с обозначениями еДД, Xi(t), АД) будем использовать ßj,Aj,Aj.
Для нахождения максимума гамильтониана (2.6) воспользуемся условиями Куна-Таккера [1]. Рассмотрим функционал
L(ei) = —Hi + АД—ßj) + Аг(ег — bi).
Для оптимальности управления е* необходимо выполнение следующих условий:
1. Стационарность: ттАДеД = ЬДе*).
2. Дополняющая нежёсткость: АД—е*) = 0; Аг(ег* — fej) = 0.
3. Неотрицательность: Xj > 0, j — 1,2.
Поскольку
“j— — — — ei)e Xt + Л— Al + А2,