Параметрически выпуклые множества

• Автор: Балашов, Максим Викторович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 235 с. : ил.

Оглавление

0.1 Введение. Структура работы

1 Сильно выпуклые, слабо выпуклые, и проксимально гладкие множества с константой В,. Равномерно выпуклые множества

1.1 Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества с кон-

стантой В в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах

1.1.1 Введение

1.1.2 Определения и обозначения

1.1.3 Связь слабой выпуклости с другими условиями

1.1.4 Отделимость и локальная связность

1.1.5 Свойства равномерно выпуклых и равномерно гладких пространств

1.1.6 Свойства сильно выпуклого отрезка

1.1.7 Доказательство теорем
1.2 Равномерно выпуклые множества
1.2.1 Определения
1.2.2 Основные свойства равномерно выпуклых множеств
1.2.3 Равномерно выпуклые функции, и связь модуля выпуклости функции с модулем выпуклости множества
1.2.4 Приложение к задачам многозначного анализа
1.2.5 Приложение к задаче о селекциях и ретракции
1.2.6 Приложения равномерно выпуклых множеств: демья-новская метрика и некоторые связанные с ней вопросы
1.3 Слабо выпуклые множества и модуль невыпуклости
1.3.1 Определения и основные свойства
1.3.2 Порядок функции 7а
1.3.3 Свойства слабо выпуклых множеств
1.3.4 Один класс слабо выпуклых множеств

Параметризация многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями
2.1 Равномерно непрерывная параметризация многозначного отображения со слабо выпуклыми значениями
2.1.1 Подготовительные результаты
2.1.2 Теорема о параметризации
2.2 Непрерывная по Липшицу параметризация многозначного отображения со слабо выпуклыми значениями
2.2.1 Введение и определения
2.2.2 Липшицевость многозначной г-проекции
2.2.3 Первая теорема о липшицевой параметризации
2.2.4 Зависимость вектора единичной нормали от множества
2.2.5 Вторая теорема о липшицевой параметризации
Некоторые задачи выпуклого и негладкого анализа
3.1 Р-множества и свойство открытости проекции
3.1.1 Определение Р-множества
3.1.2 Свойства Р-множеств, связанные с открытостью отображений
3.2 Задача расщепления для селекций
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Р-множества и задача расщепления для селекций
3.2.3 Приближенное решение задачи расщепления для лип-
шицевых селекций в гильбертовом пространстве
3.2.4 Задача расщепления для сильно выпуклых и слабо выпуклых множеств
3.3 Многогранные аппроксимации строго выпуклых компактов
3.3.1 Введение
3.3.2 Аппроксимация по опорной функции
3.3.3 Аппроксимация по предопорной функции
3.3.4 О нахождении выпуклой оболочки
3.3.5 Заключение
3.4 Равномерно выпуклые подмножества гильбертова пространства с модулем выпуклости второго порядка
3.4.1 Обозначения и постановка задачи
3.4.2 Основной результат
3.4.3 Предварительные леммы
3.4.4 Доказательство теоремы

3.5 Обобщение теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой
оболочки
3.6 Сильно выпуклые множества и удаленные точки
3.6.1 Определения
3.6.2 Свойства удаленных точек
3.7 О гладких множествах постоянной ширины
Список использованных источников

= R — min{||rco — asi ||, 2 R — ||жо — ti||} = R( 1 — e).
Применяя лемму 1.6.7, получаем требуемое утверждение. □
Лемма 1.6.9. Пусть в конечномерном банаховом пространстве Е заданы точки xq,x Е Е такие, что 0 < Цжд — Ti|| < 2R. Тогда int N(xo] Dr(xq, х)) ф 0.
Доказательство. Предположим противное. Тогда в силу конечномерности пространства Е и выпуклости конуса N(xо; Dr{xо, ад)) существует собственное линейное подпространство пространства Е, содержащее конус IV (жо; Dr(xo,xi)). Следовательно, существует вектор у Е дВф0) такой, что
(р, у) = 0 Vp <Е N(x0; Dr(xо, ад)). (1.6.3)
Определим ЧИСЛО to > 0 из условия
тах{||т0 - Xi + 2*о2/||, Но -х- 2t0y||} = 2R. (1.6.4)
Из непрерывности функции £—>+оо
числа *о, удовлетворяющего равенству (1.6.4).
Из условия (1.6.4) следует, что ||то—ж 1 —f— 2*о2/11 = 2i?, или ||жо—— 2*о?/|| = 2R. Рассмотрим случай ||то — х -[- 2Цу\ = 2R (случай ||жо — ац — 2*о2/II = 2R рассматривается аналогично). Определим функционал pi 6 сШДО) из условия [pipxQ — Xi -f 2t0y) = Цжо — ад + 2t0p||. Тогда p E N(x0 — ад + 2*o2/; B2r(0))
= IV + t0y, BR(0)j = n(xo; Br уX- - toy)) (1.6.5)
Так как (рь x0 - ад) < ||ж0 - ад|| < 2R = (pi,x0 — xi + 2t0y), то (pi, у) ф 0. Отсюда и из условия (1.6.3) получаем, что
Pi ф N(x0; Dr(xо, ti)). (1.6.6)
С другой стороны, из равенства (1.6.4) следует, что {а;о,ад} С Br (£üT£i — t0y). Поэтому согласно определению сильно выпуклого отрезка Dr(xо, Ti) С Br (S>±£1 _ t0y) И следовательно, N (ад; BR - t0y)) С
N(xq] Dr(xq,x{)). Последнее включение противоречит условиям (1.6.5), (1.6.6). □
Лемма 1.6.10. Пусть в банаховом пространстве Е заданы выпуклое множество А и вектор ад Е А. Пусть ро Е Е*, ß > 0, int ПДро) С IV(ад; Л). Тогда
(ро, то — х) > /3||ад — ж|| Ух Е А.