Методы решения задач квадратичного программирования в гильбертовых пространствах

• Автор: Ахмедов, Фейзулла Гамидулла оглы
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 96 c. : ил

Глава I. О существовании седловой точки в задаче квадратичного программирования в банаховом пространстве

§ I. Предварительные сведения. Обозначения

§ 2. Теорема о существовании седловой точки

§ 3. Условия Куна-Таккера для задачи квадратичного

программирования

§ 4. Эквивалентность условий Слейтера и сильной совместности при наличии внутренности конуса

4.1. Контрпримеры

Глава II. Вычислительный метод для задачи квадратичного программирования в пространстве і>.ті

§ I. Сведение задачи квадратичного программирования

к двойственной задаче

§ 2. Описание метода и доказательство сходимости

2.1. Пример
2.2. Описание программы
§ 3. Регуляризация в задаче квадратичного программирования
§ 4. Случай матричных ограничений
Литература
Приложение. Текст программы и численные результаты

В 1939 году Л.В.Канторовичем был сформулирован ряд условноэкстремальных линейных задач экономического происхождения - задач линейного программирования, и указаны эффективные методы их решения. В дальнейшем в работах Г.Данцига и многих других авторов, как в нашей стране, так и за рубежом, теория линейного программирования получила широкое развитие (см., например Гк] , [40] ).
Следующим этапом в развитии теории математического программирования явилась разработка теории выпуклого программирования. Первая значительная работа в этом направлении принадлежит Г.Куну и А.Таккеру [46] . Теорема Куна-Таккера дает необходимые условия для задач выпуклого программирования, а ее дифференциальная форма применима к задачам невыпуклого программирования в конечномерном пространстве и позволяет сформулировать необходимые условия для таких задач.
Уже в 50-х годах, наряду с работами по линейному и нелинейному программированию в конечномерных пространствах появились работы, посвященные задачам математического программирования в бесконечномерных пространствах. По-видимому, впервые такие задачи были рассмотрены Р.Веллманом [2] , но им рассматривалась не общая, а частная задача - так называемая задача на "узкие места".
Существует большое количество экономических задач, решение которых приводит к решению задач математического программирования в бесконечномерных пространствах. Приведем один пример.
м 4 **
Задача Марковица о максимизации чистой прибыли [3]
Пусть , Хг , • • • »Хп - объемы выпуска и видов продукции (в стоимостном выражении) в момент { на каком-то производстве. Часть величины £■ , обозначаемая ^ ■ , идет на расширение производства, причем увеличение выпуска продукции в зависимости от размеров вложений дается соотношениями
Требуется определить такую стратегию вложений, при которой прибыль за время Т будет максимальной, т.е.
п Т
,1,
тпах
Если х(0 , Х20 , . . . , Хпо - начальные объемы выпуска продукции, то задача может быть переписана в виде:
Д Я ( £, °'/) (Г‘ С - ' ] У/О л
Уі(і> -£,ауІУ(т)<іт *х‘о
0 іє[о,Т],і=і,п
у,С£) >/ о
функций К
Рассмотрим следующую задачу квадратичного программирования: Минимизировать квадратичный функционал
п п

(1-І)
при ограничениях п
2 А у X; 4 8{ , I =1,2, . ..у П. (1.2) /./ <> <
Здесь Су- и /) гу - линейные ограниченные операторы, действующие из 1-2 [° >Т] в себя. Матрица С , составленная из операторов Су положительно определена, Г1[ Е 12[° >Т]
в^е ЦГо.Т]
Задачу (I), (2) можно представить в следующей краткой форме
О ,Сх) +(/1,эс) — тіп (і.з)
/ІХ4-6 . (1,4)
Здесь С - линейный ограниченный самосопряженный оператор
отображающий [ О , Т ] в себя. / - линейный ограничен-