Некоторые методы решения задачи минимаксного управления

• Автор: Тарасова, Виктория Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 88 с. : ил.

Содержание:

Список основных обозначений

1. Задача минимаксного управления и условия разрешимости

1.1. Оптимальная стабилизация линейных управляемых систем при полной информации о координатах состояния
1.2. Оптимальная стабилизация линейных управляемых систем при неполной информации о координатах состояния

1.3. Задача минимаксного управления

1.4. Применение условий разрешимости при решении задачи минимаксного управления

2. Метод Яхаджи

3. Применение методов оптимизации к решению задачи минимаксного управления

3.1. Субдифференциал выпуклой функции. Различные обобщения понятия субдифференциала

3.2. Метод обобщенного градиентного спуска

3.3. Квазидифференцируемые функции и их свойства
3.4. Свойства функции Лп {0(М)
3.5. Решение задачи минимаксного управления методами наискорейшего спуска и квазиньютоновским методом
3.6. Решение задачи минимаксного управления методами негладкого анализа
3.6. Анализ практических расчетов
4. Субдифференциал максимального собственного числа симметричной матрицы
Заключение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Литература
Список основных обозначений
(х, у) - скалярное произведение векторов х, у я-мерного
евклидова пространства R",
||х|| - норма вектора х е R", ||х|| = лДх, х),
||М|| - норма (п х п)- матрицы М, ||М|| = -Jtr М'М
М - область Гурвица пространства коэффициентов матрицы М,
К iß) ~ максимальное собственное число (пхп)-матрицы в,
vn (0) - собственный вектор матрицы в, соответствующий Ли (0),
[х,, х2 ] - отрезок, соединяющий ТОЧКИ X,, х2,
д/(х) - субдифференциал выпуклой функции / в точке х,
f'(x,g)-производная функции / в точке х по направлению g,

со {А} - выпуклая оболочка множества А,
int А - множество внутренних точек множества А,
0 - пустое множество,
/'(х) - градиент функции / в точке х,
9е1/(*) - субдифференциал Кларка функции / в точке х,
f x->g) ~ обобщенная производная функции / в точке х по
направлению g, df(xa) - субдифференциал функции / в точке х,
df (х0) - супердифференциал функции / в точке х,
Df(xо) - квазидифференциал функции / в точке х,
5"’ - пространство симметричных (пхп)- матриц,
5" - множество симметричных, положительно определенных
{пхп)- матриц, gf (х) - почти-градиент функции / в точке X ,
вычислить в этих точках градиенты. Соответствующая разностная аппроксимация будет искомой, если ак —> 0.
Однако такой прямолинейный способ аппроксимации неэкономичен -в нем делается п пробных вычислений градиента на каждой итерации и никак не используются градиенты, найденные на предыдущих итерациях. Кроме того, в нем требуется обращать матрицу. Основная идея квазиньютоновских методов заключается, во-первых, в том, чтобы не делать специальных пробных шагов, а использовать найденные градиенты в предыдущих точках (поскольку они близки к хк), а во-вторых, в том, чтобы строить аппроксимацию непосредственно для обратной матрицы [/"(х,)]-1. Обозначим
Рк = -НкГ(хк), у, = Г(хы ) - Г(хк).
Тогда для квадратичной функции /(х)-(Ах,х)/2-(Ь,х), и положительно определенной А, имеем ук = А(хы-хк) = укАрк, т.е. УкРк = А~'ук ■
Поэтому для нового приближения Нк+] к [/"(х4+|)ф‘ естественно потребовать выполнения так называемого квазинъютоновского условия
НкнУк = ГкРкКроме того, удобно получать матрицу Ны как поправку к Нк с помощью матриц первого или второго ранга. Наконец, это поправки должны быть такими, чтобы для квадратичного случая оказалось Нп = А"'.
Основным техническим инструментом анализа подобных методов является следующая лемма об обращении матриц.
Лемма 3.4.[33] Пусть В матрица (пхп), для которой В~' существует, а,Ь - векторы из Я", (В~'а, Ь)ф-1, А- В + аЬ‘. Тогда