Аксиоматизация некоторых решений кооперативных игр

• Автор: Лежнина, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 84 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Решения кооперативных игр с фиксированным множеством игроков, с-ядро

1.1. Основные свойства решений для классов игр с фиксированным множеством игроков

1.2. с-ядро

1.3. Наименьшее с-ядро, пред п-ядро и промежуточные решения.

Глава 2. Аксиоматическая характеризация наименьшего с-ядра

Глава 3. Решения, определяемые с помощью различных функций эксцесса

3.1. Определения

3.2. Нормированное пред п-ядро

3.3. Нормированное наименьшее с-ядро

3.4. Аксиоматическая характеризация нормированного наименьшего с-ядра
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы. Теория игр занимается нахождением решений в математических моделях конфликтных ситуаций. В таких ситуациях их участники имеют различные интересы и обладают различными возможностями влиять на их исход. Кооперативная теория игр рассматривает модели, в которых участники (игроки) могут договариваться о совместных действиях, в частности, в случае трансферабельности выигрышей распределять совместно заработанный доход (затраты). При этом предполагается, что известны: возможности всех допустимых коалиций, которые в классических моделях задаются численно. Такие модели называются кооперативными играми с трансферабельными полезностями.
Целью кооперативной игры является поиск справедливого распределения доходов или затрат, с которыми будут согласны все участники игры. Такие распределения, заданные для всех игр из рассматриваемого класса, называются решениями. В математических моделях философское понятие справедливости формализуется в виде конкретных свойств решений, например, понятие равенства выражается равными долями выигрышей игроков, которые имеют равные «силы» при их участии во всех коалициях независимо от остальных характеристик игроков. Наборы таких свойств (аксиом) задают те или иные решения. Такой подход к формированию решений кооперативных игр называется аксиоматическим.
Математический метод формирования решений кооперативных игр состоит в приближении произвольной функции множеств аддитивными функциями. Здесь произвольной функцией является характеристическая функция игры, задающая максимальные гарантированные выигрыши коалиций. Решение игры, т. е. вектор значений выигрышей игроков можно трактовать как аддитивную функцию, заданную на множестве

коалиций. Разность этих функций называется эксцессом. Для каждой коалиции значение этой разности представляет собой отрицательную относительную полезность ее выигрыша. Различные способы минимизации векторов эксцессов приводят к различным решениям игр.
Однако, для того, чтобы то или иное решение было практически приемлемым, оно должно иметь аксиоматическую характеризацию. Поэтому аксиоматизация решений, определенных математическим или иным путем, является первостепенной задачей теории решений кооперативных игр.
Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является исследование свойств решений кооперативных игр, построенных на классическом и взвешенном эксцессах и аксиоматизация этих решений. Все наиболее известные и популярные решения кооперативных игр: с-ядро, пред п-ядро, значение Шепли имеют аксиоматические характеризации. Они являются решениями указанных оптимизационных задач приближения. Однако достаточно известное решение - наименьшее с-ядро, введенное Шепли и Шубиком в 1966 году, являющееся промежуточным между с-ядром и пред п-ядром, - до настоящего времени не имело аксиоматической характеризации. Аксиоматическая характеризация наименьшего с-ядра, а также промежуточных между с-ядром и п-ядром решений является одной из задач построения теории эгалитарных решений кооперативных игр, основанных на лексикографической минимизации векторов эксцессов.
Научная новизна. Большинство известных аксиоматизаций используют свойство согласованности решений. Свойство согласованности говорит о том, что если часть игроков уходит из игры с выигрышами, предписываемыми им выбранным правилом (решением), то оставшиеся игроки в оставшейся (редуцированной) игре должны делить выигрыш
Глава
Аксиоматическая характеризация наименьшего с-ядра
Как уже указывалось ранее, наименьшее с-ядро не обладает свойствами согласованности и обратной согласованности, но обладает свойством подтверждения. Последнее свойство применялось только для одной из аксиоматизация с-ядра [47] и для новой аксиоматизации пред п-ядра [58], в которой оно заменило собой два свойства - одноточечно-сти и согласованность - в известной аксиоматике А.Соболева [62].
В работе используется свойство подтверждения для аксиоматической характеризации наименьшего с-ядра. Заметим, что остальным свойствам, как и свойству подцтверждения, применяемым для характеризации: непустоте, ограниченности, инвариантности относительно сдвига, макс-инвариантности, удовлетворяют также пред п-ядро и все промежуточные решения. Поэтому при характеризации будет применен еще и принцип максимальности: наименьшее с-ядро будет охарактеризовано как наибольшее решение удовлетворяющее указанным свойствам.
Так как доказательство основной теоремы этой главы будет проводиться индукцией по числу игроков, сначала нужно охарактеризовать наименьшее с-ядро для игр двух лиц.
Лемма 2.1. Если решение Ф для класса Я2 С Ям всех игр двух лиц удовлетворяет аксиомам пспустоты, ограниченности, ковариантности и инвариантности относительно сдвига, то Ф является стандартным решением.
Доказательство. Пусть (М, у) £ Яъ - произвольная игра