Условия экстремума в негладком анализе

• Автор: Аббасов, Меджид Эльхан оглы
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 Вспомогательные результаты

1.1 Некоторые сведения из выпуклого анализа

1.2 Производные Дини, Адамара и условия экстремума

1.3 Субдифференцируемые, супердифферендируемые и квазидиф-

ференцируемые функции

1.4 Выпуклый случай

1.5 Кодифференцируемые функции

2 Описание условий экстремума с привлечением аппарата эк-зостеров

2.1 Экзостеры

2.2 Условия экстремума без ограничений
2.2.1 Описание условий экстремума с помощью аппарата экзостеров
2.2.2 Условия безусловного экстремума в терминах собственных экзостеров
2.2.3 Условия экстремума в терминах несобственных экзостеров
2.2.4 Примеры
2.3 Условия экстремума с ограничениями
2.3.1 Условия экстремума в терминах собственных экзостеров
2.3.2 Условия экстремума в терминах несобственных экзостеров
2.4 Разрывность экзостерного отображения

3 Описание условий экстремума с привлечением аппарата ко-экзостеров
3.1 Коэкзостеры
3.2 Необходимые условия безусловного экстремума в терминах
собственных коэкзостеров
3.3 Необходимые условия безусловного экстремума кусочно-линейных функций
3.3.1 Эквивалентность минимаксного и максиминного представлений
3.3.2 Условия экстремума
3.4 Необходимые условия безусловного экстремума в терминах
несобственных коэкзостеров
3.5 Метод наискорейшего коэкзостерного спуска
3.5.1 Сходимость метода
4 Коэкзостеры второго порядка
4.1 Определение и исчисление коэкзостеров второго порядка
4.2 Конвертирование коэкзостеров второго порядка
Заключение
Список обозначений
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Около трех веков в математике и ее приложениях безраздельно правил классический гладкий анализ, однако новые, все более усложняющиеся задачи, возникающие в технике и естествознании в XX веке, все чаще требовали использования негладких функций. Такого рода возникающие проблемы пытались решать, аппроксимируя негладкие функции с некоторой степенью точности гладкими. Но скоро стало очевидно, что такие аппроксимации не могут быть применены для изучения существенно негладких свойств недифференцируемых функций (таких, как, например, нахождение нескольких направлений наискорейшего спуска или подъема [14]), хотя они и позволяют приближенно находить точки экстремума. Поэтому этот подход хотя и помогал эффективно решать ряд задач, не смог обеспечить растущих потребностей исследователей и представлял собой по существу «бегство» от негладкости.
Негладкий анализ занимается изучением свойств функций, не имеющих производной в «классическом смысле», а также множеств, порожденных этими функциями. Можно считать, что научное направление «негладкий анализ» сформировалось в середине XX века как продолжение идей классического гладкого анализа, хотя первые существенно негладкие задачи были поставлены и решены еще П.Л.Чебышевым [30,49]. Первыми подробно изученными классами недифференцируемых функций явились выпуклые функции и функции максимума (см. работы [17,22,23,27,29,33,34,42,45, 68,69]). Было показано, что эти функции являются дифференцируемыми по направлениям, откуда, опираясь на производную по направлениям, удалось получить локальные аппроксимации таких функций. Таким образом появилась возможность поиска направлений спуска и подъема, а, значит, и построения новых оптимизационных алгоритмов [16,44], что повлияло на развитие математического программирования [11,24,28,32,37,39]

НЕОБХОДИМОСТЬ (от противного): пусть (2.29) верно, но (2.30) не выполнено. Тогда возьмем
г* = sup г, (2.32)
tGRc
где Rc = {г > QBr Є С, VC 6 Е*}, Вг - замкнутый шар радиуса г с центром в нуле. Множество Rc непусто, так как по теореме (2.2.5) 0 є Rc-Таким образом, г* > 0. Очевидно, условие (2.30) эквивалентно условию г* > 0. При г* > 0 будет справедливо неравенство
sup(v,g) > (г*)2 Vg Є К™,

а, следовательно и
h(g) = inf sup(u,5) > (г*)2 > 0 Vge Rn сеь*vec
Поэтому нужно показать, что г* = 0 невозможно. Доказательство будем вести от противного. Допустим, что г* = 0.
Если супремум в (2.32) достигается, то существует С Є Е*, такое, что tq = 0. Это значит, что 0„ граничная точка для С. Но тогда по теореме отделимости (см. теорему 1.1.1) существует такое 'д Є Rn, ||g|| = 1, для которого
max(u, #) = 0.

Поэтому
h(g) < таx(v,g) = О, v&C
что противоречит (2.29).
Если же г* = 0 и супремум в (2.32) не достигается, то существует последовательность {Ск} такая, что Ск Є Е*, rck | 0. Тогда для каждого к найдется дк Є R", для которого
таx(v,gk) = rCk, \дк\ = 1,