Управление параметрами динамической системы для реализации самоорганизующегося процесса перехода к устойчивому периодическому режиму

• Автор: Городецкий, Сергей Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Бифуркации Андронова-Хопфа

Глава 2. Переходные процессы в динамических системах

второго порядка

§ 1. Приведение системы второго порядка к нормальной

форме Пуанкаре

§2. Построение приближённого решения

§3. Теорема существования и единственности

§4. Уравнение Ван-дер-Поля

Глава 3.. Переходные процессы в динамические системах
третьего порядка
§1. Приведение системы второго порядка к нормальной
форме Пуанкаре
§2. Построение приближённого решения
§3. Теорема существования и единственности
Глава 4. Переходные процессы в системах Рёсслера и Валлиса
§ 1. Система Рёсслера
§2. Системы Валлиса
Заключение
Список использованных источников
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
Многие реальные динамические процессы, изучаемые в физике, химии, биологи, технике, экономике могут быть достаточно адекватно смоделированы системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно эти уравнения содержат числовые или функциональные параметры. Эти параметры могут быть объектом управления или могут изменяться под воздействием объективных факторов. Важной особенностью динамических систем является их способность к самоорганизации, т.е. к переходу от неустойчивой простой структуры к более сложной устойчивой структуре. Для каждой структуры есть области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров. Если параметры попадают в область неустойчивости данной структуры, то при определенных условиях может начаться запуск процесса самоорганизации, приводящий к более сложной устойчивой структуре или к динамическому хаосу. Задачу запуска процесса самоорганизации к желательной устойчивой структуре можно разделить на две подзадачи. Первая задача - это задача оптимального управления, целью которого является попадание конечной точки траектории (например, за кратчайшее время) в область, из которой может начаться процесс самоорганизации. Вторая задача заключается в исследовании самого процесса самоорганизации, когда параметры находятся в области неустойчивости простой структуры и устойчивости более сложной структуры. В столь общей постановке эти задачи не могут быть решены. Обычно решаются более частные, конкретно поставленные задачи. Данная работа связана с решением второй задачи для важного класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Актуальность задачи изучения процессов перехода от положения неустойчивого равновесия в режим самоорганизации для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков связана с тем, что они часто встречаются при решении задач управления. Кроме того, для многих моделей задач управления, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка, устойчивые структуры связаны с определенными решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Предполагается, что параметры системы находятся в области, в которой положение равновесия неустойчиво и есть устойчивый периодический режим. Известно, что такая ситуация может возникать, когда матрица линеаризованной системы имеет комплексное собственное значение с достаточно малой вещественной частью. Известно, какие дополнительные условия достаточно наложить на параметры, чтобы периодический режим был устойчивым (теория бифуркаций Андронова-Хопфа). В данной работе точными математическими методами исследуется самоорганизующийся процесс перехода из произвольной окрестности положения равновесия к устойчивой периодической структуре.
Цель работы
В соответствии с идеями синергетики выделить из широкого множества параметров один или два ведущих малых параметра, ответственных за реализацию самоорганизующегося процесса в динамических системах, описать переходные процессы от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму.
Научная новизна
Исследуется переход из сколь угодно малой окрестности положения неустойчивого равновесия к предельному периодическому режиму для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Этот подход принципиально отличается от известных аналитических исследований устойчивости предельного цикла относительно малых

Если а) е Н(Е Щ < £2М, то из равенств (2.31), (2.48) и ограниченности частных производных функции (// х следуют справедливые при 0<£<£0, в е Я, 0 < а < 1 неравенства
|Т(Ц < хЛа,е) +
maxa] < C2(n)s2N+1,
(2.49)
< |4"(f№l < C,(AT)s=|(s С,(Л'>
!».2я2|
4/(#) = 2A+2Zn («2 e)-
- «2(з(ХЛ + Ф)2 - 3S2n + (S,r + £)3 - Si)+ (2.50)
+ £2N+2a2N+2(l + SN + £)2N+3i/sn (a( 1 + + #), <9, s).
Из леммы 2.4, равенств (2.31) и (2.48) и определения нормы в пространстве Н{Ё) следует, что
||(£j2'v+2.
||ЧЕ"(| < С2(А>! при Щ < s2N. 1 *
Из неравенства (2.51) получаем, что при ||||<£-2д',0<£ И# 15 И - ИД £ 6*‘2(с, 0v>“*2+л,вд)=
= з(с,(а)+с2>2Л'+2