Характеризация устойчивости решения задач о внешней и равномерной оценке выпуклого компакта шаром

• Автор: Дудова, Анастасия Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 107 с.

Глава 1. Задача о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы

§1. Постановка задачи о внешней оценке, вспомогательные

сведения

§2. Свойства строго и сильно квазивыпуклых норм

§3. Свойства целевой функции Л(х)

§4. Свойства функции расстояния до строго и сильно выпуклого

множества

§5. Критерии решения задачи о внешней оценке

§6. Характеризация устойчивости решения задачи о внешней оценке

Глава 2. Задача о равномерной оценке выпуклого компакта евклидовым шаром

§7. Постановка задачи о равномерной оценке, вспомогательные

сведения
§8. Свойства вспомогательной функции Яо(ж)
§9. Оценки для производной по направлениям функции
расстояния
§10. Свойства целевой функции Ф(ж)
§11. Характеризация устойчивости решения задачи о равномерной оценке
Список литературы
Список используемых обозначений

1. Интерес математиков к оценке и аппроксимации достаточно сложных множеств множествами простой геометрической структуры во шик очень давно (см., например, монографии Т.Боннезена, В.Фенхеля [2], Л.Ф.Тота [21] и библиографии в них). Ныне это направление активно поддерживается в рамках негладкого анализа и недифференцируемой оптимизации, основы которых заложены в трудах Р.Т.Рокафеллара, Б.Н.Пшеничного, В.Ф.Демьянова, А.М.Рубинова, Ф.Кларка, Ж.-П.Обена, И.Экланда, Н.З.Шора, Б.Т.Поляка, М.С.Никольского, Е.С.Половинкина (|20|, 117Ц18], |5]-[7), [9]. |13|-[14|, [24], [19], |12], |15]-[16]) и других ма-тематиков. Именно негладкий анализ дает эффективные необходимые математические инструменты для успешного исследования таких задач.
Задачи по оценке множеств находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике. Известны многочисленные работы, связанные с внешними и внутренними эллипсоидальными оценками множеств и многозначных отображений (напр., работы Н.З. Шора [24], Ф.Л. Черноусько [23], А.Б. Куржанского и др.). Можно также указать на работы но внешним и внутренним оценкам заданных множеств ориентированными параллелепипедами и их приложениями (см., напр., [1]). Б.С. Половинкиным в [15] рассматривались внутренние и внешние многогранные аппроксимации выпуклых множеств.
Наряду с эллипсоидом и многогранником к числу наиболее простых множеств, как в геометрическом смысле, так и по числу задающих параметров, относится шар любой нормы.
Задача о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы, которая заключается в построении шара используемой нормы с наименьшим радиусом, содержащего оцениваемый компакт, рассматривались Б.Н. Пшеничным в [17].
Задача о наилучшем приближении (равномерной оценке) в метрике Хаусдорфа выпуклого компакта евклидовым шаром была поставлена и изучалась в работе М.С. Никольского и Д.Б. Силина [12].
Основная цель диссертации - исследование устойчивости решения этих

двух задач относительно погрешности задания оцениваемого (приближаемого) компакта.
2. Приведем математическую формализацию задачи о внешней оценке, которую также называют задачей об описанном шаре или задачей о чебы[невском центре множества.
Пусть D заданный компакт из конечномерного действительною пространства W, а функция п(х) удовлетворяет на Rp аксиомам нормы. Тогда задачу о внешней оценке компакта D шаром нормы п(-) можно записать в виде
R(x) = тахп(ж — 7/) —» min. (0.1)
V ' yeD яейР
Значение функции R(x) выражает радиус наименьшего шара с центром в точке х, содержащего в себе компакт D. Точка х*, доставляющая минимальное значение функции R(x), является центром искомого описанного шара, a R* = R(x*) - его радиус.
Известно([2]), что для случая, когда п(х) — ||я|| - евклидова норма, решение задачи (0.1) единственно. При этом центр описанного шара принадлежит выпуклой оболочке точек, одновременно принадлежащих границе компакта D и поверхности описанного шара (то есть его граничной сферы). Верно и обратное, а именно, шар, содержащий компакт и обладающий указанными выше точками множества D на его границе, есть описанный шар. Следовательно центр описанного шара всегда принадлежит выпуклой оболочке компакта D.
Диаметр компакта D
d* = шах Цж — у\
х,увО
и радиус описанного евклидова шара R* связаны неравенством, полученным Г. Юнгом (см. [11, с.73]).
Как показывают примеры, если п(х) не является евклидовой нормой,

2) Рассмотрим случай хх Е И, ха <£ И. Заметим, что х £ (}р(х2,0), так как противное приводит к противоречию с условием (4.15). Следовательно точка 7/2 € 0р(х2,1>) С Ю отлична от х, а в силу строгой выпуклости множества £> точка уа = а»! + (1 — а)у2 6 тШ. Отсюда получаем
РйЫ < п(ха - уа) < ап(х 1 - хх) + (1 - а)п(х2 - у2)
= ар0{хх) + (I - а)ро{х2),
то есть требуемое неравенство.
3) Пусть теперь х £ Д ха £ £>. Возьмем точки у, € С2р(хг,П), i = 1,2.
За) Предположим, что у= у2 — Уа и при эюм для некоторого Л > О выполняется
причем Л > 1, в соответствии с (4.15).
С другой стороны из (4.17) получаем равенство
Х2-Х = (Л - 1)(Ж1 - Т/о),
которое, с учетом (4.18), приводит нас к равенству
п(х2 - = ри(х2) - Рд(®0,
противоречащему правой части неравенства (4.15).
36) Предположим, ЧТО У1 = 7/2 = 7/0 И при ЭТОМ
®2-уот^А(х1-уо), V А > 0.
В этом случае мы можем воспользоваться леммой 2
ро(ах 1 + (1 - аДг) < н(ааг1 + (1 - а)х2 - уо)
= п(а(х 1 - у0) + (1 - а)(®2 - У о) < <*п(х 1 - у0) + (1 - а)п(г2 - Уо)

®2-Уо = А(х1-у0). Тогда, с одной стороны, из (4.17) вытекает
ри(х 2) = Арв(®1),
(4.17;
(4.18;