Оценки устойчивости стохастических моделей систем взаимодействующих частиц

• Автор: Митрофанов, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 109 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Обзор основных результатов по оценкам устойчивости марковских процессов и моделированию систем взаимодействующих частиц
1.1. Неравенства доя возмущенных марковских процессов
1.2. Оценки устойчивости стационарных распределений конечных цепей Маркова с дискретным временем
1.3. Модели химических и молекулярнобиологнческих систем
Глава 2. Оценки устойчивости конечных однородных цепей Маркова
с непрерывным временем
2.1. Устойчивость на конечном интервале времени
2.2. Устойчивость на бесконечном интервале времени
2.3. Предельная устойчивость . ^ .
Глава 3. Связь устойчивости целей Маркова с их характеристиками
3.1. Устойчивость и элементы инфинитезимальной матрицы
3.2. Устойчивость и собственные значения инфинитезимальной матрицы
3.3. Частные случаи диагонапизуемой инфинитезимальной матрицы
3.4. Сингулярно возмущенные цепи Маркова
Г лава 4. Исследование стохастических моделей химических реакций
4.1. Марковские модели образования и распада бинарных комплексов
4.2. Общие альтернирующие процессы восстановления
4.3. Моделирование молекулярных систем с использованием альтернирующих процессов восстановления
4.4. Исследование точности оценок устойчивости цепей Маркова
Заключение
Список литературы

Введение
Рассматриваемые в диссертационной работе системы взаимодействующих частиц являются подклассом дискретных систем со стохастическим характером эволюции, определяемым случайными процессами взаимодействия элементов этих систем между собой и с окружающей средой. Использование для элемента систем этого подкласса названия «частица» обусловлено спецификой элементов и процессов их взаимодействия. Несмотря на различие физической природы, происхождения и масштабов систем взаимодействующих частиц, существенным является то, что используемые для исследования этих систем математические модели основаны на результатах теории вероятностей и теории случайных процессов. Значительный вклад в разработку и анализ стохастических моделей систем взаимодействующих частиц внесли отечественные ученые: А. Н. Колмогоров, Н. Н. Боголюбов, Б. А. Севастьянов, М. А. Леонтович, Р. Л. Добрушин, В. А. Ватутин, В. П. Чистяков. Среди зарубежных ученых необходимо отметить существенный вклад в развитие этого научного направления таких ученых, как А. Реньи, Т. Харрис, П. Уиттл, Т. Куртц, К. В. Гардинер, Н. Г. Ван Кампен, Я. Тот.
Весьма эффективными математическими моделями систем этого класса являются цепи Маркова с непрерывным временем, в частности, конечные однородные цепи Маркова, важным свойством которых является то, что их поведение полностью определяется инфинитезимальными матрицами и начальными распределениями. При использовании цепей Маркова в качестве моделей, как правило, возникает и требует решения общая для математического моделирования проблема оценки влияния на характеристики моделей точности значений задаваемых параметров моделей. Эта проблема приобретает особую важность в случаях, когда задана необходимая точность определения характеристик моделей, а значения параметров моделей формируются на основе экспериментальных данных и имеют определенную погрешность. С другой стороны, задавая в модельной цепи Маркова значения некоторых параметров очень малыми или, наоборот, очень большими, можно рассматривать модельную цепь как возмущенную по отношению к другой цепи Маркова, имеющей, возможно, более простую структуру. Поэтому проблема получения оценок чувствительности характеристик цепей Маркова к возму-

щениям является актуальной, и ее решение не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическое значение для исследования дискретных стохастических систем методами математического моделирования при использовании в качестве моделей цепей Маркова. Решению задач оценки устойчивости стохастических моделей посвящены работы таких ученых как В. М. Золотарев, В. В. Калашников, В. В. Анисимов, Н. В. Карташов, П. Швейцер, К. Мейер, С. Киркланд, Ю. Сенета.
В основу диссертации положены результаты научных исследований, выполненных автором в Саратовском государственном университете. Часть включенных в диссертацию результатов получена автором в качестве соисполнителя НИР по включенной в план НИР СГУ теме «Разработка и применение фундаментальных методов исследования задач математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, теории упругости и газодинамики» (шифр «Интеграл», гос. per. № 0120002986).
Целью диссертационной работы является получение оценок устойчивости марковских моделей систем взаимодействующих частиц и исследование связи устойчивости с характеристиками моделей.
В качестве иллюстрации аспектов практического приложения полученных оценок устойчивости моделей в диссертации рассмотрены известные модели процесса образования и распада бинарных комплексов, являющегося довольно распространенным типом химических реакций. Выбор в качестве примера этих моделей обусловлен тем, что прогресс в понимании природы микромира в последние десятилетия, появление инструментальных средств исследования химических процессов на молекулярном уровне привели к необходимости при моделировании химических систем учитывать дискретную структуру вещества и случайный характер молекулярных взаимодействий. Поскольку в основе процессов, протекающих в живых организмах, лежат химические реакции, стохастические модели систем взаимодействующих частиц находят применение в биохимии и молекулярной биологии. В частности, показано, что в такой важнейшей области молекулярной биологии, как моделирование генетических сетей, учет случайного характера молекулярных взаимодействий существенно необходим. Другим примером биомолекуляр-ных систем со стохастическим характером эволюции являются ионные каналы.

Из (2.6) следует, что для каждой строки dJ (J) , / е S, матрицы D(t) = P(t)-P(t) справедливо неравенство ||Ц (/)| < {Щ, / > 0. Отсюда
||/Х0||<ф1 ^[0,л]. (2.16)
Положим
/(.?, /) = max | p(s, i,t,A) - p(s, j, /, /1) |,
i,JeS,AcJi
h(s,t)= max | Д(х,г,/,И)-р(х,/Д,И) |, 0 где /?(.v, i, /, Л) = P{X(0 e И. IX(.S') = /}, p(s, f, Д) = P{X(/) e A X(s) = /'}, s<(, A ci S. Поскольку цепи Маркова X и X однородные, p(s, i, I, A) = = p(0, i, t - s', A) , p(s, i, t, A) = /5(0, i, t - s, A) . Следовательно, /(s; /) = = /(0, t - s) = , Л(5,/) = \i,_s. Имеем
sup f(t,l + т) = фт, SUpSUp/î(/,/-bM) = SUpVj/H.
t>0 />0 u Если фу < 1 для некоторого s > 0, то, используя теорему 1.4, получим
ф, о.
]-ф.у
Справедливо равенство
Ф( = max max ] P{X(I) е А | X(Q)-i}- Р{Х{() е И | АЛ(0) = j},
i,JeS Aç:S
откуда с учетом (2.1) получим ф, =— max, /eS Р (/)(е, — е ) ={3f; через е,

здесь обозначен вектор, у которого / -я компонента равна единице, а остальные - нулю.
Выпол няются также равенства
\i, = max max | P{X(t) e A X(0) = i} - P{X(i) e И | Jf (0) = /} |=
i