Задача о продаже недвижимости : Теоретико-игровой подход

• Автор: Фалько, Игорь Антонович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Чита
• Количество страниц: 107 с.

Введение
Глава I.

Задача о продаже недвижимости.

§1. Задача о продаже недвижимости на конечном

интервале времени

§2. Задача о продаже недвижимости с доходом

в единицу времени

§3. Продажа недвижимости с переменными порогами

Глава II.

Задача о продаже недвижимости в теоретико-игровой постановке.

§1. Продажа одного дома двумя фирмами. Игровая

задача Г]’
§2. Игровая задача Гд,1. Случай произвольного N
§3. Игровая задача Г^'к. Случай нескольких домов
Глава III.
Задача о продаже недвижимости в условиях неполной информации.
§1. Случай неизвестных значений наблюдений
§2. Случай с ненулевой платой
§3. Случай с полной информацией для одного
из игроков
§4. Игра на правило остановки с допуском
Заключение
Библиография

ВВЕДЕНИЕ
В работе исследуется класс проблем последовательного наилучшего выбора, имеющих отношение к так называемой задаче о продаже недвижимости. Эти задачи принадлежат классу задач на правило остановки.
Задача на правило остановки возникла после появления работ американского статистика А.Вальда [60] по статистическому последовательному анализу (1947). Предложенная им процедура была оригинальной и практически важной.
Среди популярных задач в теории оптимальной остановки отмстим задачу выбора наилучшего объекта (так называемая задача о секретаре), задачу о разладке случайных процессов, задачу о парковке автомобиля, задачу о разорении игрока, задачу о продаже дома и другие.
Классическая задача о секретаре имеет много общего с задачей о продаже недвижимости, поэтому приведём постановку задачи о секретаре в виде, предложенном Фергюсоном в [13]:
Задача - оптимально выбрать секретаря из фиксированного множества последовательно представляемых претендентов при условиях:
1. Вакантна одна должность секретаря.
2. Известно п - число претендентов на эту должность.
3. Претенденты проходят собеседование последовательно в случайном порядке, то есть все п! перестановок равновероятны.
4. Предполагается, что вы можете присвоить каждому претенденту ранг от лучшего до худшего; решение о принятии или непринятии претендента должно основываться только на относительных рангах ранее опрошенных претендентов.
5. Отвергнутый претендент не мо?кет быть возвращён позднее.
6. Вы очень привередливы и будете довольны только лучшим. Это означает, что ваш выигрыш 1, если вы выбрали лучшего из п претендентов, и 0 - в противном случае.
Решение этой задачи принадлежит классу правил остановки таких, что для некоторого целого г > 1 необходимо отвергнуть первых г — 1 претендентов, а затем принять такого из следующих претендентов, ранг которого окажется лучшим среди всех, опрошенных ранее. Вероятность

(г) выбрать лучшего из претендентов есть 1/п для г = 1, а для г >
г — 1 п
Ш = (—) £ т
п ;=г
При п—т-оо максимум этой вероятности достигается когда г/п —>■ 1/е ~ 0.3679. Таким образом, оптимально просмотреть около 37% претендентов и затем принять лучшего из всех опрощенных. Вероятность, что этот претендент окажется лучшим из всех претендентов также равна примерно 37%.
Различные постановки этой задачи рассматривались, в частности, в работах таких исследователей как: Дынкин, Юшкевич [66], Де Гроот [65], Ширяев [83], Роббинс, Сигмунд, Чао [76], Пресман, Сонин [74], Кован, Забжик [67].
А теперь приведём постановку задачи о продаже недвижимости.
Игрок (некоторая фирма, торгующая недвижимостью) наблюдает процесс, представляющий собой последовательность предложений о прода?ке объектов. В начале процесса игрок имеет фиксированное количество неделимых объектов одинакового качества, или домов, которые он должен продать. Предложения о продаже - одинаково и независимо распределённые неотрицательные случайные величины, имеющие известную функцию распределения с конечным математическим ожиданием. Предложения поступают последовательно и наблюдаются непосредственно после прибытия. В момент поступления текущего предложения игрок должен решить, принять ему это наблюдение (продать один из домов и перейти к следующему наблюдению) или отвергнуть его. Задача игрока - максимизировать ожидаемый выигрыш, равный сумме всех продаж. Этой задаче были посвящены исследования следующих авторов: Фишер [15], Кауфман [17], Олбрайт [1], Олбрайт и Дер-ман [3], Сакагучи [40, 41, 42, 43, 51], Саарио [33, 34, 12, 36], Сакагучи и Саарио [37, 38], Мазалов и Саарио [21], Макнамара, Коллинз [7, 24], Брюсс, Фергюсон [6], Райтер [30].
В дальнейшем мы можем использовать также термин ’’продавец” в том же смысле, что и термин ’’игрок”.
Эта задача имеет практический интерес в том смысле, что иссле-

где и+1 = 0; В+1 и У(Х1 задаются соотношениями (3.24) и (3.26) соответственно.
Для поиска максимума по переменным в*+1,..., Бт воспользуемся методом множителей Лагранжа, для чего введём новую функцию вида:
Ц+1 = ^Т1 + 8&& +
71—1 т
+ Е Е а‘(в‘ - ,3.в‘+1 - (1 - *№£})+
к=1 ^'=1+1 Iй-
п—1 т
+ £ Е № - 3^+1 - Ц - ^«г/чЛ1 +
к=17=г+1 где Вр = 1/0‘ - 1), V} = 0.
Продифференцировав (3.30) по У-: (к = 1,... ,п — 1, 3 = г +
1,..., 777.), получим уравнения, определяющие А*, цУ.
— ^-1^-1 + ^-1(1 - 5;-1) + ^-1(1 - ^-1)^-1;
ц) = /ху_1в,--1 + д-^(1 - 5м);
п _ П _ п П-1 _ 71-1 _ 1.
3 ~ О — и) лг+1 — — *г> /Л+
к = 1,.... 7), 1, _7 = г + 1,..., ш,
и уравнения для нахождения 5^- (^ — г + 1,..., т):
Е (У (В‘п‘ - в‘+1>+- (1 - ч-)^«1))
/.-.л
где и У-'1 имеют вид (3.24) и (3.26) соответственно.
Дифференцируя выражение (3.29) по в;, получаем:
„ и?+

Таким образом, справедлива
Теорема 3.2 1) Оптимальная стратегия игрока при продажен домов за т шагов на шаге i есть вектор (я*, 5г-+1,..., зт); где в* находится из соотношения (3.33), а в] 0 = г + 1,..., т) - из системы (3.31)-(3.32);
(3.31)
= 0, (3.32)
(3.33)