К теории и методам решения задач квазивыпуклого программирования

• Автор: Камлоши, Шандор
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 101 c. : ил

Основные обозначения

Глава I» Метод-матрицы квази-Гессе в исследовании обобщенной, выпуклости дважды дифференцируемых функций § I. Обобщения понятия выпуклости функции § 2. Локальная обобщенная выпуклость § 3. Характеристики первого и второго порядка различных типов обобщенной выпуклости § 4. Критерии положительной полуопределенности и положи-. тельной определенности матрицы квази-Гессе § 5. Достаточные условия локального минимума в нелиней-ноы программировании

Глава II» Обобщенная выпуклость- невыпуклых квадратичных функций

§ I. Квази- и псевдовыпуклость квадратичных функции § 2. Критерии обобщенной выпуклости квадратичных функции . на конусах

§ 3. Достаточные условия локального минимума в квадратичном программировании

Глава III. Недикференцируемые квазивыпуклые функции и некоторые вопросы недифференцируемой оптимизации § I. Некоторые свойства недийюеренцируемых псевдовыпук-. лых функций § 2. Обобщение понятия квазвдийференцируемости по Пшеничному § Зо Направление наискорейшего спуска
Литература

Математическое программирование имеет дело с задачей оптимизации значений некоторой целевой функции при ограничениях типа равенств и неравенств.
Задача, в которой все фигурирующие при ее описании функции линейны, называется задачей линейного программирования. В противном случае имеет место задача нелинейного программирования. Начало математического программирования можно датировать 1939 годом. В этом году советским математиком Л„В.Канторовичем были созданы методы решения нового типа задач - задач линейного программирования. В дальнейшем теория линейного программирования получила широкое развитие в работах Дж.Данцига и многих других авторов как за рубежом, так и в СССР.
Разработка симплекс-метода и появление быстро-действующих вычислительных машин сделали линейное программирование важным инструментом решения многих проблем, возникающих в самых различных областях. Однако большинство реальных задач не может быть адекватно описано с помощью моделей линейного программирования из-за нелинейности целевой функции или некоторых ограничений. В последние два десятилетия достигли значительного прогресса в исследовании нелинейных задач.
Следующим этапом в развитии теории математического программирования явилась разработка теории выпуклого программирования. Центральным местом в этой теории является теорема Куна-Таккера, дающая необходимые и достаточные условия экстремума.
Потребности выпуклого и также невыпуклого программирования

оказали большое влияние на развитие теории выпуклых функций и выпуклых множеств, т.е» на развитие выпуклого анализа.
Уже в самом начале развития теории выпуклого программирования появились попытки обобщить понятие выпуклости функции, таким образом, чтобы хорошие свойства выпуклых функций сохранялись / Дэ Финетти, Фэнхел, Слейтер, Никайдо и др./. Исследование задач квазивыпуклого программирования стало более интенсивным в начале шестидесятых годов.
Большой вклад в изучение квазивыпуклых задач внесли К.Й. Эрроу, А.Д.Энтховен, Р.В.Котл, Й.А.Фэрланд, О.Л.Мангасарян, Б.Мартош, Ш.Шайбл, М.Авриел и в СССР Я.И.Заботин, А.И.Кораблев, Р.Ф.Хабибуллин, Е.Г.Гольштейн и др. Для недифференцируемых задач квазивыпуклого программирования важные результаты были получены в работах Ж.-П.Крузейкса и Б.Е.Диверта.
Основной целью этих исследований явилось расширение класса выпуклых функций /или функционалов/ до класса таких функций /или функционалов/, для которого основные утверждения выпуклого программирования /напр, теорема Куна-Таккера/ сохраняются.
Одним из самых важных свойств выпуклых функций является то, что любое нижнее множество уровня данных функций является выпуклым множеством. Один класс обобщенных выпуклых функций, так называемых квазивыпуклых функций определен именно по этому свойству.
Хорошо известным свойством дифференцируемых выпуклых функций является достижение в каждой стационарной точке глобального минимума. Этим свойством обладают и псевдовыпуклые функции, класс которых шире класса дифференцируемых выпуклых функций.
С 1949, когда Дэ Финетти впервые ввёл понятие квазивыпуклости

ti^cCXc.) =. О , . /5.3
Теорема 1.5.2. Рассмотрим задачу /5.1/. Пусть выполняются следующие условия:
/I/ Хо в X является КТЛ-стационарной точкой задачи /5.1/,
/2/ существует окрестность G точки Хо такая, что пересечение gax является звездообразным в точке Хо ,
/3/ функция fix; локально псевдовыпукла /локально строго
псевдовьшукла/ в точке хс 6- X
Тогда fix) достигает локального минимума /строгого локального минимума/ на X в точке х<,.
Доказательство. Допустим, что условия /1/-/2/ выполняются и fix) локально псевдовьшукла в точке Х0еХ , Без ограничения общности можем предполагать, что условие /2.3/ выполняется на множестве G A X . Пусть имеем произвольную точку х е G Л X . Докажем, что fix) > ftXo) . Так как множество G АХ звездообразно в точке х0, поэтому отрезок [х.Хо] принадлежит множеству GAX . Легко проверить, что для всех / = Т, vZ имеет место неравенство
tc^UXol.X-Xo) > О.
Складывая эти неравенства и учитывая соотношение /5.2/ получим,

(fW|,X-Xo) = 5I U(<^ixe),x-xe) > О

Отсюда и из условия /2.3/ следует, что f(X) > fexo)
Еслй/72ТЗ/ вьшолняется з^словие /2.4/ на G А X , то для всех Х6 GA X, X 4 Хо иглеет место строгое неравенство fix) > fix0). Теорема доказана.
Обозначим через LU) подпространство пространства Е*", пара-