Методы анализа несобственных задач математического программирования

• Автор: Ватолин, Анатолий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 145 c. : ил

ГЛАВА I. Симметрическая аппроксимация несобственных задач

линейного программирования

1. Вспомогательные результаты

2. Условия локального минимума

3. Анализ задачи аппроксимации

ГЛАВА 2. Аппроксимация несовместных систем линейных уравнений и неравенств

4. Методы аппроксимации, использующие евклидову

норму

5. Методы, использующие другие виды функции качества аппроксимации

ГЛАВА 3. Анализ линейных моделей с интервально заданной

информацией
6. Постановка задачи
7. Системы неравенств и уравнений
8. Задачи линейного программирования
ГЛАВА 4. Линейная коррекция выпукло-вогнутых минимаксных
задач
9. Постановка задачи и вспомогательные результаты
10. Методы линейной коррекции
11. Аппроксимация несобственных задач выпуклого программирования
Литература

ВВЕДЕНИЕ Для задачи выпуклого программирования (Ш)
С*. 1*1 У, С*<0* /Сос)=[/1(ос),...}^Сл^ ^ (0.1)
выпишем двойственную в следующем виде:
С* ^ ; К>0,$ ^ 1 = сС* . (0.2)
Выше ^ - выпуклое множество из 1г -мерного евклидова пространства : {) (*0 ( j = 0,1, ууг.) - выпуклые функции, определенные на ^ , О. (и)= 1пА- Р (х, щ-] ,
в х €
Р (ос}и)- ^0 (х) + (и, (х)'] - функция Лагранжа задачи
(0.1).
Среди важнейших свойств задач математического программирования (МП) такие: разрешимость или неразрешимость, конечность или бесконечность оптимального значения задачи, выполнимость или невыполнимость равенства оС - оС* . Задачи МП, для которых не выполняется свойство одновременной разрешимости прямой и двойственной задачи и совпадения их оптимальных значений, называются несобственными [зз]. Например, задача (0.1) будет несобственной, если выполняется по крайней мере одно из условий:
М = [х: Ух) ,
М* = { и : м. >0 } ^ (и) >-оо | = ,
М ={ос:^(ос)=0/;1хбМ} = ^г7 М* = { и. : (к)« оС* -ф. иб И*] = £Г7

оС ф oL*
Я- *
где м , м* - допустимые, а м , м - оптимальные множества соответственно прямой и двойственной задач.
Систематические исследования несобственных задач математического программирования были начаты в работах И.И.Еремина,
В.Д.Мазурова [23, 26, зз]. В этих и последующих работах [24, 27] подробно обсуждены причины (как практического, так и теоретического характера) возникновения несобственных задач, вызывающие необходимость развития и обоснования методов их анализа и коррекции
В ситуации несобственности задачи требуется иной подход к формулировке как принципа двойственности, так и соответствующих ему теорем двойственности. Разработка данного подхода была осуществлена в работах [23, 24, 27].
В исследовании несобственных задач большое развитие получила идея аппроксимации (оптимальной коррекции) [24, 26, 27, зз], когда исходная несобственная задача С (и вместе с ней двойственная к ней задача С * ) погружаются в некоторое семейство задач
С^у. (х): ^ [у] (х)« 0,) = 1 ,-,Щ, хе Q 1 ,

зависящих от параметра у £ R . При этом /Дч.К*)5 5 ^ (ос) , j= при некотором С R.c , т.е
дачи С(%) и С совпадают. Задача аппроксимации записывается в виде
inf {Ф (у) : у £ Ка- } , (0.3)
где Я5 - функция, оценивающая качество аппроксимации (чем

несовместной системы линейных уравнений
А X = (4.9)
запишем в форме
;*/{ ІІ[р,Н]|Г= II р 11% IIИ Г ;
система (Д+Н) х=^-р совместна^ (= СГ^ _ (4.10)
Заметим, что метод наименьших квадратов состоит в отыскании решений задачи УуііК | Ц Дх-€І(2 : X 6 ЯГ" или, что то же самое, решений системы А ЗС = £ - р1 , где р есть решение задачи
система А X совместна . (4.II)
Рассмотрим некоторое обобщение задачи (4.10):
[и/ II : (/І+Н):с = £-р, (= СГу) (4.12)
Если іНК41 - 0 , А„ - нулевая матрица,
то задача (4.12) совпадает с (4.10). Выпишем вспомогательную задачу
с^ { II ВгІІг: 0} ($,*)> 0 , II * Ц= і } (*=&;). (4.13)
Л»-**
Множества м2,м2 ,м,,му определим аналогично мно-
'Ч-*
жествам М1}мг,м1} м, соответственно. Определим также Н (?.) , р (2г) , X (г*) с помощью соотношений
Ср(г) ■> М С*)]* (Іг1 йг(ъ), 0* , 4 (а) = - В г гт ,
хОЬ у;1 [?!.»-. > !/ = [уо,У1г-,%] =