Изомонодромные деформации фуксовых уравнений второго порядка на сфере Римана и соответствия Гекке

• Автор: Облезин, Сергей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Долгопрудный
• Количество страниц: 110 с.

Оглавление
1 Введение

1.1 Мотивация и актуальность работы

1.2 Обзор результатов работы

1.3 Задача изомонодромной деформации

1.4 Обзор используемых методов алгебраической геометрии

1.5 Краткий обзор понятий теории представлений

1.6 Благодарности

2 Дискретные симметрии систем изомонодромных деформаций дифференциальных уравнений второго порядка фуксового типа

2.1 Введение

2.2 Модификации расслоений ранга N со связностями

2.3 з/(2)-связности с особенностями на Р
2.4 Классический пример: У(Сз)-симметрии
гипергеометрического уравнения
2.5 Другой классический пример:
У( С^-симметрии уравнения Гойна
2.6 Изомонодромная деформация
уравнения Гойна — шестое уравнение Пенлеве
3 I. Разделение переменных в б/(2)-системе Шлезингера
3.1 Введение
3.2 Разделение переменных
3.2.1 Понятие стабильности. Допустимые расслоения
3.2.2 Отображение (£, V) е-> (До С С, V)

3.2.3 Отображение в пространство модулей ГН-пучков
3.2.4 Конструкция из линейной алгебры
3.2.5 Отображение в Р(0 © П(Ш1))(П~3) в общей точке
3.2.6 Поведение на дивизорах {я* = о,-}
3.2.7 Пример разрешения диагонали {ж, = х,}
3.2.8 Вычисление пространства связностей
3.3 II. Компактификация и динамика в/(2)-системы Шлезингера
3.3.1 Компактификация пространства начальных данных Л4„(2) и
динамика изомонодромной деформации
3.3.2 Динамика 5/(2) системы Шлезингера
3.4 Пример: уравнение Пенлеве VI
' 3.4.1 Геометрия пространства Л/4 (2)
3.4.2 Геометрия Л^4(2)
3.4.3 Геометрия системы Пенлеве-VI
4 Заключение
5 Литература .

1 Введение
Предметом настоящей работы является применение метода изомоно-дромной деформации для системы Гарнье (см. [17]), при этом используются алгебро-геометрические методы теории представлений групп петель; целью работы является изучение дискретных симметрий, решение проблемы разделения динамических переменных и исследование компактификации для системы Гарнье. Кроме того, общей мотивацией данной работы является круг вопросов, связанных с изомонодромны-ми деформациями фуксовых систем дифференциальных уравнений на сфере Римана.
1.1 Мотивация и актуальность работы
Метод изомонодромных деформаций появился в современной науке в работах Джимбо—Мивы—Сато ([23], [24]) и Флашки—Ньюэла ([14]), и с тех пор активно используется и развивается. Метод изомонодромных деформаций применяется для исследования нелинейных уравнений, его идея состоит в том, чтобы реализовать нелинейное уравнение как изомонодромное условие некоторой системы, а такая интерпретация дает существенную информацию о нелинейном уравнении. В частности, сохранение монодромии означает, что монодромия системы является первым интегралом нелинейного уравнения. Оказывается, что некоторые нелинейные уравнения математической физики, например, все уравнения Пенлеве и некоторые редукции уравнений Кадомцева—Петвиашвили и Кортевега—де Фриза, являются условиями изомонодромности некоторых систем линейных уравнений. Таким образом, метод изомонодромной деформации позволяет изучать нели-
0 = 5£(2, С) матриц с определителем 1 действует на д сопряжениями — А(1д : д —>■ д, у н- дуд-1; такое действие называется присоединённым представлением. Алгебра Ли д изоморфно касательному пространству к группе 0 в единице, поэтому, если имеется действие группы в некотором представлении, то инфинитиземальное действие определяет соответствующее представление алгебры. Таким образом, дифференцируя присоединённое представление группы Ли 0, получаем, что алгебра д действует на себе операторами айх : д —> д, у [х,у. Кроме этого, имеется коприсоединённое представление группы 0 в коалгебре д*, двойственной д относительно билинейной формы (ху) := Тг(х • у). Коприсоединенное представление
Ай'д : д* * д* осуществляет действие сдвигами
= (£Аад-1х)
для любого £ Є д*. Соответствующее действие алгебры Ли д на коалгебре д* получается дифференцированием действия группы —
д* —> Епс1(д*), х н* ас1*х,
то есть
(<<(£) 1у) = <€|«^-*(у)) = “(£| [х,у])-
Структура алгебры Ли на д определяет пуассонову структуру { , } на коалгебре д*. А именно, если Г, Є Є С°°($*), то с/.Р(£) — линейная форма на Тд-£, и её можно рассматривать как элемент алгебры Ли д; таким образом, положим
{р,с}К) = «| [<№«),л?({)]).