Исследование устойчивости движений дискретных динамических систем

• Автор: Минайло, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 110 с.

Глава I. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
§1. Обобщенно-однородные функции. Системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями
§2. Сохранение устойчивости при переходе от дифференциальных систем к разностным
§3. Условия асимптотической устойчивости по обобщенно-однородному
приближению
§4. Построение неавтономных функций Ляпунова
Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ
§1. Постановка задачи
§2. Метод В. И. Зубова построения консервативных разностных схем 36 §3. Исследование асимптотической устойчивости относительно части
переменных но нелинейному приближению
§4. Уточнение условий асимптотической устойчивости по части переменных
§5. Устойчивость решений одного класса нелинейных разностных систем 49 §6. Управление вращательным движением твердого тела
Глава III. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ВЕКТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЬЕНАРА
§1. Построение консервативной разностной схемы
§2. Сохранение устойчивости при переходе от дифференциального уравнения Льснара к разностному

§3. Исследование системы, находящейся под воздействием возмущений с нулевыми средними значениями
§4. Другой способ анализа устойчивости уравнения Льенара
Заключение
Список литературы

Многие задачи математической кибернетики приводят к исследованию дискретных динамических систем. Для описания дискретных систем используются уравнения в конечных разностях.
Системы уравнений в конечных разностях изучаются уже давно в различных разделах математики. Вполне естественно, что обилие приложений конечноразностных уравнений повысило к ним интерес.
Большое внимание к исследованию подобных уравнений уделяется в задачах теории управления. Разностные уравнения широко применяются при описании динамических систем с дискретными регуляторами [24|, нелинейных импульсных систем [11, 58]. Кроме того, они широко используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений различных типов [17, 24, 57].
Свойства решений разностных уравнений во многом аналогичны свойствам решений соответствующих дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет использовать системы разностных уравнений в задачах моделирования и анализа динамики различных реальных объектов, там, где использование непрерывных систем либо не представляется возможным, либо приводит к значительному усложнению этих задач.
В то же время переход от непрерывных уравнений к разностным может повлечь существенное изменение свойств решений системы. При таком переходе нередко нарушается устойчивость.
Устойчивость - важное свойство любого управляемого объекта. Устойчиво движущимся принято называть тот объект, движение которого слабо изменяется под воздействием возмущений. И наоборот, говорят, что объект движется неустойчиво, если его движение сильно изменяется под действием возмущений. Так как в действительности возмущающие силы всегда неизбежно существуют, то задача устойчивости движения приобретает очень важное теоретическое и прикладное значение.
Существенные результаты в исследовании устойчивости разностных систем были достигнуты в работах В. И. Зубова, М. А. Скалкинон, А. Накпау, Б. Vexler, 3. М. Запя-Бегпа, Н. УозЫба и многих других авторов [4, 5, 24, 35, 53, 54, 55, 58, 64, 67].

/ & о _ _ _ _
5 = 1, 5'і = 5і+52(7), где 5і и 52(2) — кососимметрические матрицы
V о
размерности т х тп с постоянными и переменными элементами соотвественно, причем 5і — матрица с отличным от нуля определителем, а 52(2) — заданная и непрерывная при Z е Еп матрица, йДО) = 0; 52 = 52(2) — кососимметрическая матрица размерности (п — т)х(п — тп), заданная и непрерывная при 2 Є Еп. Тогда систему (5.3) можно переписать в виде
Х*+1 = Хк + к + 5 А + 32(Я0**) ,
П+1=П + Л&(24)П,
где У - (ті — га)-мерный вектор с компонентами -гт+1,гп.
Система (5.4) имеет инвариантное множество М = {2 Є Еп : У = 0}. Для любого решения 2). = Ук )*, начинающегося на этом множестве, имеем Ук = = 0,
Х*+1 = Хк + П + 5А + 52 А, 0)Х^ . (5.5)
Рассмотрим первую разность функции Ляпунова V = ||Х||2/2 в силу системы (5.5). Имеют место соотношения
~ 1А+1ц2 \хк\* д2 2 2
дУ(Хк)

+ у ІІ^АН2 + у Н^А^т
+к{ц + 1)У(Хк) + к2(^^ + 5А+
+Л2(5Л)*52Хь.
Следовательно, для достаточно малых значений справедливо неравенство
Д7>а/і2||5А||2,
где а > 0.
Тогда по дискретному аналогу теоремы Ляпунова о неустойчивости [11] нулевое решение системы (5.5) неустойчиво.