Ньютоновские методы поиска особых решений нелинейных уравнений

• Автор: Ерина, Мария Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Основные обозначения

1 Определяющие системы

1.1 Построение определяющих систем и ньютоновские методы

1.1.1 Способы выбора проектора

1.1.2 Ньютоновские методы

1.2 Реализуемые алгоритмы

1.3 Устойчивость

2 Краевые задачи и уравнения с фредгольмовыми производными

2.1 Нелинейные краевые задачи

2.1.1 Конечномерная редукция

2.1.2 Реализация для краевых задач

2.2 Уравнения с фредгольмовыми производными
2.2.1 Некоторые сведения о фредгольмовых линейных операторах
2.2.2 Построение определяющей системы
3 Уравнения с ограниченной гладкостью и комплементарные задачи
3.1 Уравнения с липшицевой первой производной
3.1.1 Построение определяющей системы
3.1.2 Метод Ньютона в ослабленных требованиях гладкости
3.2 Нелинейные комплементарные задачи
3.2.1 Метод Ньютона для ИСР
3.2.2 Условия регулярности
Приложение. Вычислительные примеры
А Системы нелинейных уравнений
Б Нелинейные краевые задачи
В Уравнения с фредгольмовыми производными
Заключение
Литература

В данной диссертационной работе изучаются особые решения нелинейного уравнения
Пх) = 0, (1)
где П : О —> И1т — обладающее определенной гладкостью отображение, О С И" — открытое множество, п>т. Решение х £ О уравнения (1) называется особым, если
гапк^'(ж) < т,
или, другими словами,
г = согапк Р'(х) > 0.
В противном случае решение х называется регулярным.
Важнейшие приложения, в связи с которыми появляется необходимость анализа и численного отыскания особых решений, возникают, скажем, в теории бифуркаций (см., например, обзор в [55]), а также в оптимизации, включая комплементарные и связанные с ними задачи [50], [18].
По всей видимости, началом исследований по проблематике особых решений и численных методов их отыскания можно считать работу [63], в которой было установлено, что метод Ньютона обладает лишь линейной скоростью сходимости к кратному корню одного скалярного уравнения с одной неизвестной (п = 1), но квадратичную скорость сходимости можно восстановить домножением стандартного шага метода на кратность корня.
Внимание к этой проблематике было привлечено вновь в [59], где была сделана первая попытка обобщить результаты из [63] на многомерный случай. В свою очередь, работа [59] инициировала целый ряд публикаций [61], [33], [60], [35], [36], [44], [34], [37], [38], [45], где детально исследовалось поведение методов ньютоновского типа в окрестности особого решения (см. также обзор в [43]). Итог этих исследований можно подвести следующим утверждением: в лучшем случае удается гарантировать линейную

скорость сходимости метода Ньютона к особому решению, и, кроме того, начальное приближение не достаточно выбирать просто близким к искомому решению (множество подходящих начальных приближений может не содержать окрестности точного решения, хотя это множество, как правило, в определенном смысле «плотно»; см. [44], [43]). Отыскание особых решений связано с еще одной известной трудностью — возможной неустойчивостью таких решений по отношению к возмущениям отображения F [18], а также неустойчивостью процессов ньютоновского типа к вычислительным ошибкам вблизи таких решений [43].
В этом контексте был предложен ряд модификаций метода Ньютона, направленных на восстановление присущей ему высокой скорости сходимости (см. обзоры в [38] и [43]). Эти модификации базируются на сочетании многошаговых вариантов метода Ньютона с основной идеей работы [63] (то есть, с удлинением шага). Однако, такие модификации не позволяют преодолеть остальные трудности, упомянутые выше. Кроме того, условия, используемые для обоснования этих модификаций, весьма ограничительные: эти условия могут выполняться лишь при г < 2 [38]. Аналогичные трудности возникают в связи с так называемыми тензорными методами [62], [40]: по-видимому, обоснованные реализации последних известны только для г < 1.
В настоящее время доминирующим в области численного отыскания особых решений представляется другой подход, связанный с построением так называемых расширенных (еще говорят — определяющих) систем. Этот подход впервые был предложен в работах [64], [66], [56], однако, идея настолько естественна, что, возможно, она появлялась независимо и в других работах. Идея состоит в том, чтобы включить уравнение (1) в семейство уравнений, зависящее от некоторых дополнительных переменных (параметров) таким образом, чтобы оператор новой системы имел сюръективную производную в соответствующем решении. Этот первый этап называется раскладыванием («unfolding») особенности. Второй этап, называемый иногда сечением («cut»), состоит в нахождении дополнительных уравнений, делающих расширенную систему квадратной, причем так, чтобы искомому особому решению соответствовало регулярное (в определенном выше смысле) решение получаемой расширенной системы. Тогда это решение можно искать любым традиционным численным методом (например, методами ньютоновского типа).
В первых публикациях, посвященных подходу «unfolding-cut», рассматривался только случай г — 1. Подход получил дальнейшее развитие в работах [43], [68], [54],
Глава 2. Краевые задачи и уравнения с фредгольмовыми производными

скажем, от краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того, конечномерную аппроксимацию исходного интегрального уравнения (например, с помощью замены интеграла квадратурами; см., например, [18, приложение А]) с особым решением обосновать едва ли возможно. Во-первых, особое решение может не быть устойчивым по отношению к такому «возмущению», и тогда аппроксимирующее конечномерное уравнение может вообще не иметь решений. Во-вторых, если даже искомое решение устойчиво, то соответствующее решение конечномерного уравнения может быть — и обычно будет — неособым (и специальные методы поиска особых решений для этого уравнения не сработают), а «почти особым» (и стандартные подходы также будут неэффективны). Иными словами, представляется более правильным осуществлять «регуляризацию» (в том или ином смысле этого слова) исходного бесконечномерного уравнения, а уже потом строить конечномерные аппроксимации регуляризованного уравнения.
Несколько слов об обозначениях, используемых в данном разделе. Для I, ] = 1, ..., г через обозначается 5-символ Кронекера. Через X* (X**) обозначается топологически сопряженное пространство к пространству X (X*), т.е. пространство непрерывных линейных функционалов на X (на X*). Для множества 5 С X через 5х = {х* е X* (х*, х) = 0 Уж 6 5} будем обозначать его аннулятор, а для множества 5 С X* через ХД = {ж € X | {х*, х) = 0 Уж* € б1} — его левый аннулятор. Заметим, что пространство X естественным образом вложено в X**, причем для всякого х е X и отвечающего ему х** € X*’ справедливо равенство {ж}-1 = х{ж**}. Далее, через 1т Б обозначается линейная оболочка множества Б, т.е. минимальное линейное подпространство, содержащее Б. Очевидно, что для любых множеств Б, Дг С X справедливо равенство Дх П Б^ = (Нп(5г и Дг))х> а для любых множеств Дь Д2 С X* — равенство ХД1 ПХД2 = и Д2))- Через Х/Ь обозначается фактор-пространство
пространства X по его линейному подпространству Ь. Запись X = Ь ф М означает, что X является прямой суммой линейных подпространств Ь и М, т.е. Ь + М = X, ЬГ М = {0}.
2.2.1 Некоторые сведения о фредгольмовых линейных операторах
Начнем со следующих сведений о линейных подпространствах банахова пространства X. Из теоремы Хана-Банаха ([21, с. 24]) легко выводится