Применение теории точных штрафов в негладких задачах вариационного исчисления

• Автор: Тамасян, Григорий Шаликович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 149 с. : ил.

Список основных обозначений

1 Негладкая задача вариационного исчисления с

переменным запаздывающим аргументом

1.1 Постановка основной задачи с переменным запаздыванием

1.1.1 Постановка основной задачи

1.1.2 Эквивалентная постановка задачи

1.2 Постановка вспомогательной задачи с постоянным запаздыванием

1.2.1 Постановка вспомогательной задачи

1.2.2 Эквивалентная постановка вспомогательной

задачи

1.3 Точная штрафная функция вспомогательной задачи с постоянным запаздыванием

1.3.1 Точная штрафная функция
1.4 Игольчатая вариация функционала Фд
1.4.1 Функционал Фд
1.4.2 Игольчатая вариация функционала Фд
при $1, 02 Е [О, Т — К)
1.4.3 Необходимые условия сильного экстремума
1.4.4 Исследование двухточечного необходимого
условия
1.4.5 Игольчатая вариация функционала Фд при 9 € [О, Т — К), #2 С [Т — Ь,Т) и при
01,02 е[т-Л, Т)
1.4.6 Необходимые условия сильного экстремума
1.4.7 Исследование двухточечного необходимого
условия
1.5 Необходимые условия сильного экстремума

1.5.1 Необходимые условия экстремума
1.6 Условие Лежандра-Клебша
1.7 Условия Эрдмана-Вейерштрасса
1.8 Необходимые условия для основной задачи с постоянным запаздыванием
1.9 Необходимые условия экстремума для основной задачи
1.9.1 Двухточечное необходимое условие
1.9.2 Необходимые условия сильного экстремума
для основной задачи
2 Негладкая задача вариационного исчисления с ограничениями типа х'(р) —1{х(ф),£)< 0
2.1 Введение
2.2 Постановка задачи
2.3 Эквивалентная постановка задачи
2.4 Точная штрафная функция
2.5 Игольчатая вариация функционала ф(г)
2.6 Вариация функции
2.7 Необходимые условия сильного экстремума
2.8 Исследование двухточечного необходимого условия
2.8.1 Случай первый
2.8.2 Случай второй
2.9 Негладкая задача вариационного исчисления с
ограничениями типа /(ж(£)Д) <
2.9.1 Постановка задачи
2.10 Необходимые условия сильного экстремума
2.11 Необходимые условия экстремума
3 Задача вариационного исчисления с отклоняющимся аргументом
3.1 Введение
3.2 Постановка задачи
3.3 Эквивалентная постановка задачи

3.4 Локальные минимумы
3.5 Свойства функции <р
3.5.1 Классическая вариация г
3.5.2 Случай % ф %
3.5.3 Случай г £ Z
3.6 Точная штрафная функция
3.6.1 Свойства функции (7 .
3.7 Необходимые условия экстремума
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ
А Задача Е. С1аппе88]
А.1 Численный метоД решения
А. 1.1 Метод наискорейшего спуска
А.2 Пример
А.2.1 Пример сходимости минимизирующей последовательности к нестационарной точке
А.2.2 Пример сходимости минимизирующей последовательности к стационарной точке
В Пример 2

Пусть в точке в кривая г* непрерывна. Положим 02 = в. Устремляя в к в и учитывая непрерывность функции фг, из (1.127) получим
Р(х*(9),х*{9-к),ь,г*{в-Н),9) --Р(х*(в),х*(6 -Ь),г*(в),г*(6-К),0) - (» - г*(0))Г'(0) >
49 е[Т -Ь,Т]Г{г*),ь ЕЖ. (1.128)
Условие (1.128) называется необходимым условием Вейерштрасса. Напомним, что -0(г*) — множество точек [0, Г], в которых функция г*(1) непрерывна.
Следствие 1.5 При V = г* (вг) функции
Щ(и) = Щ(г*,2*,0г,92,ь,а) 1 = 2:3,
в (1.124) и (1.125) достигают своего наименьшего значения, равного пулю. Поэтому, еслиД(х,х, г, 2,9) дифференцируема по г и 2 в точках
(*•(01), **(01 - К),гв1),г91 - Н),в1),
(**(01 + К), х*(91),г*{в1 + К), **(00, вг + К)

(х* (в2), X* (в2 -К), г* (в2), г* (в2 -К), в2),
(х*(в2 + К), х*(в2), г*(02 + Ь), г*(в2),в2 + Н),
то по необходимому условию минимума функции Щ(и) в точке V = z*(вг) имеем необходимое условие
т(у))
т.е.
Ифвг) + ДО + вг) + фг(вг) + ДО + вф) - ДО2) - ДО2) = 0 4вг е[0,Т-Щ,в2е[Т-Ь,Т]

ДОО + фг(вг) - ДО2) - ДО2) = 0 4вх, в2 € [Т - Н, Т].
Далее,
ДОх) + ДО + вг) + ДОх) + ДО + вг) = ДО2) + ДО2)
4вг £ [0,Т — Ы,в2 € [Т-НТ] (1.129)

ДОх) + фг(9г) = ДО2) + ДО2) ДО в2е[Т- Ь, Т]. (1.130)