Синтезирующие функции линейных управляемых систем

• Автор: Трушкова, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 120 с.

Оглавление
Введение
Синтезирующие функции для семейств оптимальных траекторий, подчиненных двухточечным условиям
1.1 Существование и единственность решения задачи оптимального управления с двухточечными условиями
1.2 Семейства оптимальных траекторий
1.3 Функции, синтезирующие к-параметрические семейства
при 1 < к < п
1.4 Функции, синтезирующие ^-параметрические семейства
при п + 1 < к < 2п
1.5 Выделение к-параметрических семейств с помощью двухточечных условий
1.6 Множества точек, в которых синтезирующие функции обращаются в бесконечность
Синтезирующие функции для семейств оптимальных траекторий, подчиненных трехточечным условиям
2.1 Существование и единственность решения задачи оптимального управления с трехточечными условиями
2.2 Семейства оптимальных траекторий
2.3 Функции, синтезирующие семейства оптимальных траекторий
2.4 Выделение семейств оптимальных траекторий с помощью трехт,очечных условий
Синтезирующие функции для семейств оптимальных траекторий, подчиненных многоточечным условиям
3.1 Существование и единственность решения задачи оптимального управления с многоточечными условиями
3.2 Семейства оптимальных траекторий
3.3 Функции, синтезирующие семейства оптимальных траекторий
3.4 Выделение семейств оптимальных траекторий с помощью многоточечных условий
Список литературы

Введение
В математической теории оптимальных процессов, лежащей на стыке теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления, начиная с первых моделей 50-х годов, одной из основных проблем является проблема синтеза оптимальных систем.
Эта проблема заключается в построении функции u(t,x), называемой синтезирующей функцией данной задачи и представляющей собой значение оптимального управления при условии, что в момент времени t система находится в точке х. Если известна синтезирующая функция, то техническое осуществление оптимального хода процесса может быть произведено по схеме с обратной связью. Поэтому умение решать проблему синтеза очень важно в различных прикладных задачах оптимального управления.
Крупнейшие достижения математической теории оптимальных процессов — принцип максимума Л.С. Понтрягина [2, 11] и метод динамического программирования Р. Веллмана [1] — являются основными средствами решения проблемы синтеза оптимальных систем.
Синтезу оптимальных систем посвящено огромное количество работ. Тем не менее получить явное аналитическое выражение для синтезирующих функций оптимальных систем удается лишь с редких случаях. Отметим работы Л.С. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гам-крелидзе, Е.Ф. Мищенко [2, 11], H.H. Красовского [G], А.М. Летова [7], A.A. Фельдбаума [13].
Данная диссертационная работа посвящена решению проблемы построения функций, синтезирующих семейства оптимальных траекторий линейных стационарных задач оптимального управления с квадратичным критерием качества с помощью уравнений принципа максимума Л.С. Понтрягина.
Отправными исследованиями являются исследования А.П. Хромова [14] — [17] проблемы построения синтезирующих функций для линейных задач с квадратичным критерием качества. В его работах рассматриваются всевозможные задачи оптимального управления линейной стационарной управляемой системой тг-го порядка со скалярным управлением
x{t) = Ax(t) + bu(t), te[tcьП]< Ф<П, (1)
где x(t) = (xl{t),...,xn{t))T Е W^[t0,ti], управление u(t) G В-ДйьП],

Ъ — (0,... ,0,1)т — постоянный вектор размерности п,
/ 0 1 . 0 0
0 0 . 0
0 0 . 0
5гг 9п— 1 - -92 -91/
на минимум интегрального квадратичного критерия качества *
7 = У М:г(£)) 4-(ы(£),«(£))^ > пнп, (2)
где М — постоянная положительно определенная матрица размера п х п, без ограничения на управление при различных условиях, связывающих значения траектории на концах временного отрезка. С использованием соотношений принципа максимума Л.С. Понтрягина [11]
Гя(<) = Ах(1) + |М>ТУ’(*),
—-А1 ф{Ь) + 2Мх^),
где ф{Ь) = (ф^),ф2^),. ■ ■ ,фп(р))т — непрерывная вектор-функция, из множества оптимальных траекторий рассматриваемых задач выделены «-параметрические семейства
Мп.дд = {#(£) € ,<г]|3р Е М” : х{Ь) = Ф 1^)(Пр + (1)},
где Ф!^) первые п строк фундаментальной матрицы решений си-
стемы (3), £> — постоянная матрица размера 2п х п ранга, п, с/ постоянный вектор размера 2п, р есть вектор-параметр размерности п. Построены функции ■{/.(#,х), для которых справедливы следующие утверждения:
1) если вектор-функция х(ф) есть решение системы
х = Ах + Ьи(Ь, х), (4)
и Д(ж(£)) непрерывна на множестве IV, то х(1) является функцией семейства здесь Я(х) = (Я^х), Я2(х),... ,Яп(х))т,
Яфх) = -2(Мх,АР_1Ь) - 2- Ат,Ь) - ^-2(М:г,АГ^2Ь)-

* = 1,2, £
матрица размера 2x4.
0 0 10 0 0 0
а) Рассмотрим семейство где Б = с1 = (1,0,1,0)т € ГОГ5.
Можем записать
км,4 = < х(*) е И^[0,1]
^6 *'= *<*) = ( (1Ж 4 )}■
Построим функцию ?/.(*, 1]), синтезирующую семейство Мт,Воспользуемся полученной ранее формулой:
и(ф,х 1) = ( 2 Ы ) (*, XI, б,д) —
= ( 2 6* )Я(<1{(21 (Х1 - + д) =
( 1
/ п п 1 п Л
= (26*
0 0 10 0 0 0

V о /

*2 + 1Ж1 *2 + 1'
Итак, функция и[Ь,х 1) = является функцией, синтезирующей семейство ^ = (1,0,1,0)т.
б) Рассмотрим семейство М2,д,о, где В = жем записать
к,п,о = Ь(*)е^[0,1]
3(РьР2)Т € М2 : ж(<)
0 10 0 -10
*Р1 + (*2 - 1)р2 Р1 + 2*р

Построим функцию и(ф,х 1,г2), синтезирующую семейство М2,л,о-Воспользуемся полученной ранее формулой:
и{1,хи х2) = {2 6t)QF{t,(x^,x2)T,D,0) = ( 2 6* ) ££
, ,Т ч /" о 0 1 0 / 0 1 О О V
х (*„*,) =(2 «)(„ „ „ , Д „ 5 0]
2* —Г2 + 1 1 ( х1

*2 + 1 V -г'

(.г:, - *ж2).
Итак, функция и{Ь,Х,х2) = -р^у(£1 - Вх2) является функцией,
пм п / 0 1 0 0 4 т
синтезирующей семейство М2)с,(ъ -О = I ^ ^