Квазиградиентные методы решения задач оптимального управления

• Автор: Мамонова, Наталья Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 117 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Задачи с выпуклым и замкнутым ограничением на управление

1.1. Основная задача оптимального управления

1.2. Формулы приращения функционала

1.3. Процедуры улучшения в задаче без ограничений

1.4. Разрывные процедуры улучшения в задаче без ограничений

1.5. Проективные методы улучшения в задаче

с ограничением

Глава 2. Задачи с выпуклым и компактным ограничением на управление

2.1. Постановка задачи.

Оптимизация процедуры варьирования
2.2. Квазиградиентные методы первого порядка
2.3. Квазиградиентные методы второго порядка
2.4. Метод квадратичной аппроксимации
Глава 3. Вычислительный эксперимент
3.1. Вопросы численного интегрирования
разрывных систем
3.2. Задачи без ограничений на управление
3.3. Задачи с ограничениями на управление
Заключение
Список литературы
Введение
Проблемы управления и оптимизации являются естественными и необходимыми элементами исследований во многих областях науки, техники и экономики. В настоящее время теория оптимального управления может служить хорошим примером гармоничного сочетания фундаментальных математических разработок с актуальными прикладными проблемами.
Необходимые условия оптимальности традиционно составляют приоритетное направление исследований в теории управления. По прежнему, ведущим результатом в этой области является принцип максимума Л.С.Понтря-гина [51], который на протяжении многих лет служит активным стимулом для исследований по оптимальному управлению. Теория принципа максимума для неклассических (анормальных, вырожденных, разрывных, импульсных) задач оптимального управления оформилась как самостоятельное научное направление с широким спектром фундаментальных результатов [9], [10], [11], [29], [30], [47]. Альтернативно примыкающее направление исследований связано с достаточными условиями оптимальности в общих нелинейных задачах [28], [36], [69] и невыпуклых задачах специальной структуры [58], [59].
Проблема вычислительных (итерационных) методов оптимального управления традиционно связана с условиями оптимальности и ориентирована на использование типовых конструкций и аппроксимаций, полученных в рамках качественной теории.
Актуальность этой проблемы определяется, в первую очередь, необходимостью надежного и обоснованного решения новых, все более сложных прикладных задач оптимального управления (динамика полета, физико-технические процессы, экономические модели, экология, медицина и др.) на базе современной вычислительной техники. С другой стороны, не ме-

нее важной является необходимость проведения фундаментальных исследований по дальнейшему развитию конструктивной теории вычислительных методов оптимального управления (расширение классов решаемых задач, обоснованная работа с вырожденными задачами, проблема поиска глобальных решений в невыпуклых задачах и др.)
К настоящему времени определились разнообразные подходы к численному решению задач оптимального управления в обыкновенных динамических системах. Проведем обзорное изложение соответствующих методов для задач оптимального управления со свободным правым концом (без ограничений на состояние), которые являются основным объектом исследований в данной диссертации.
В первую очередь, выделим методы, полученные на основе необходимых условий оптимальности. Здесь наиболее эффективным средством для построения вычислительных процедур служит принцип максимума Понтря-гина. Первоисточником соответствующего класса методов является, конечно, метод последовательных приближений Крылова И.А., Черноусько Ф.Л. [38], [39], который заложил основу для процедур игольчатого варьирования в задачах оптимального управления. Дальнейшие исследования в этом направлении привели к своеобразным процедурам варьирования управления, которые позволили обеспечить свойство монотонности метода по функционалу и обосновать сходимость последовательных приближений по невязке принципа максимума (Габасов Р., Кирилова Ф.М. [23], Кирин Н.Е. [34],[35], Васильев О.В., Тятюшкин А.И., Терлецкий В.А., Аргучинцев А.В [6]-[8], [12], [16]-[20], [85], Любушин A.A., Черноусько Ф.Л. [40], [65], Mayne D., Polak E. [77], Тео K.L., Yeo L.T. [84] и др.). Проведенные разработки явились заметным достижением в области вычислительных методов оптимального управления. В результате сложился комплекс алгоритмов игольчатого варьирования с единой операцией поиска вспомогательного управления (направление спуска) из условия максимума функции Понтрягина. Опреде-
Пример 1.3.
Ф(и) = - Уо их2dt —» min, х = и, ж(0) = 0, |а| < 1.
Определим основные конструкции
Н = фи- ^х2и, Ни = ф - ~х2,
ф = хи, ф(1) — 0.
Рассмотрим управление и = 0 с траекториями
x(t,u) — 0, ф(Ь,и) ■= 0, £ G [0,1].
Оно является особым на [0,1], поскольку Ни(ф(£, и), x(t, и)) = 0.
Применим первую процедуру улучшения:
u^{t,x) ^ a sign(-^x2).
Уравнение х = u^(t, х), х(0) = 0 имеет особое решение x(t) = 0 (■u(t) = 0). Кроме того, имеется решение xa(t) = — ai с порождающим управлением va(t) = —öl. Для a G (0,1] |та(£)| < 1 и обеспечивается улучшение:
Ф (и) = 0, Ф(уа) = -|а3.
1.5. Проективные методы улучшения в задаче с ограничениями
Рассмотрим задачу (Р) в исходной постановке (U - выпуклое, замкнутое множество) и проведем обобщение построенных ранее процедур варьирования с обоснованием свойства улучшения и доказательством сходимости соответствующего метода. В рамках данной задачи естественно использовать операцию проектирования на множество U (Pu - оператор проектирования